Page 616 - Capire la matematica

L’aggettivo ordinaria sta a ricordare che la funzione incognita y dipende dalla sola varia-
bile x, mentre se la funzione incognita dipenda da due o più variabili, ovvero equazioni
che stabiliscano un legame tra queste variabili, la funzione incognita e le sue derivate
parziali, sono dette equazioni differenziali alle derivate parziali.

Esempi: i) y’ = x + 1 è un’equazione differenziale del primo ordine (vi è solo la derivata
prima della y, cioè y’ );

2
ii) yy ‘‘+ ′ = yy’ è un’equazione differenziale del secondo ordine (in quanto vi figura
anche la derivata seconda di y, cioè y’’ );

iii) y’’ = x + sin x è ancora un’equazione differenziale del secondo ordine;

2 (5)
(5)
3
iv) y y = 2x è un’equazione differenziale di ordine 5 (in quanto y è la derivata quinta
di y).
DEFINIZIONE: Un’equazione differenziale di ordine n si dice lineare se la funzione inco-
(4)
gnita y e le sue derivate, y’, y’’, y’’’, y , …, y (n-1) , sono funzioni lineari, cioè se l’equazione
differenziale è di primo grado nel complesso della y e delle sue derivate e si può scrivere
(n)
(2) y + a1(x)y (n-1) + a2(x)y (n-2) + … + an(x)y = f(x) con a1(x), a2(x), …, an(x), f(x) funzioni defi-
nite e continue in un medesimo intervallo I.

2
Esempi: i) L’equazione differenziale y’’+ x y’+ 5y = sin x è del secondo ordine (in quanto
vi è il termine y’’) lineare, essendo y, y’, y’’ funzioni lineari (di primo grado);

2
ii) L’equazione differenziale y’’+ xy’+ 3y = cos x è ancora del secondo ordine ma non è
2
lineare in quanto compare il termine y (la y è di secondo grado);

iii) L’equazione differenziale yy’- sin x = 0 è del primo ordine (in quanto vi è il termine y’)
ma non è lineare in quanto contiene il termine yy’ che, nel complesso, risulta di secondo
grado;

iv) ) L’equazione differenziale yy’’’ = 2x è del terzo ordine (in quanto vi è il termine y’’’)
ma non è lineare in quanto contiene il termine yy’’’ che, nel complesso, risulta essere di
quarto grado.

Definizione: Se nella (2) la funzione f(x), che rappresenta il termine noto, risulta identi-
camente nulla in I, allora l’equazione differenziale si dirà omogenea, in caso contrario
(n)
non omogenea: y + a1(x)y (n-1) + a2(x)y (n-2) +… + an(x)y = 0.

Risulta allora possibile suddividere le equazioni differenziali lineari in due categorie: 1)
omogenee, ossia riducibili alla forma: (α) y’ + f(x)y = g(x) ≡ 0 essendo f (x) una funzione

definita e continua in un intervallo I (limitato o illimitato).

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