Page 615 - Capire la matematica

Equazioni Differenziali

Le equazioni differenziali costituiscono lo strumento più importante ed efficace che

l’Analisi Matematica possa offrire ad ogni ramo delle scienze applicative per la soluzione
dei relativi problemi.

È facile verificare, infatti, come qualunque problema di Fisica, o anche di Geometria, che

non sia di carattere assolutamente elementare, presenti la necessità di esprimere una
funzione a partire da una ben determinata condizione, cui essa deve soddisfare insieme
alla variabile indipendente e alle sue derivate.

Ad esempio, l’equazione = -kx rappresenta il decadimento radioattivo (x è la quantità

2

di sostanza non decaduta all’istante t); oppure l’equazione ∙ = (, , ) rappre-
2
senta il moto di un punto di massa m soggetto ad una forza F dipendente dal tempo t,

2
dalla posizione r e dalla velocità v= ; e ancora l’equazione x’’ + k x = 0 rappresenta un

moto armonico, tipico di una molla.

Per risolvere uno dei problemi sopra esposti, pertanto, occorre risolvere le equazioni
differenziali relative.

È ben noto come le equazioni matematiche possano essere classificate in due categorie:
numeriche, il cui oggetto è rappresentato proprio dalla determinazione di uno o più nu-
meri, e funzionali, il cui oggetto, invece, è insito nella determinazione di una o più fun-

zioni. A quest’ultima categoria appartengono le cosiddette equazioni differenziali che, a
loro volta, si distinguono in ordinarie e alle derivate parziali.

Definizione: Si definisce equazione differenziale ordinaria di ordine n ogni equazione
nella quale figuri come incognita una funzione, y = y (x) della variabile x, la funzione y e

tutte le sue derivate fino alla (n -1)-esima, ovvero un’equazione della forma: (1)
(n)
F(x,y,y’,y’’,…y (n-1) ) = 0 con y = f(x,y,y’,y’’,…,y (n-1) ) .
L’ordine dell’equazione è il massimo ordine delle derivate che in essa compaiono.

Una funzione y = j(x) è soluzione (o integrale) della (1) se, sostituendo nella (1), al posto
(n)
di y, y’, y’’, …, y (x) si ottiene un’identità, cioè se:
′′
′
F[, (), (), (), … () ()] ≡ 0.
Integrare un’equazione differenziale significa determinarne tutte le soluzioni. L’integra-
zione di un’equazione differenziale rappresenta il complesso di operazioni che occorre
eseguire per pervenire alle soluzioni.

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