Page 620 - Capire la matematica

Osserviamo innanzitutto che, indicata con y0(x) = f0(x) una qualunque funzione che sod-
disfi la (*), o meglio un integrale particolare della (*), e con y l’integrale generale
dell’omogenea associata, allora: y(x) = y0(x) + ̅ differenziale lineare a coefficienti co-
stanti non omogenea è dato dalla somma di un suo integrale particolare e dell’integrale

generale dell’omogenea associata.

Resta, quindi, da stabilire come determinare un integrale particolare della (*), avente al
secondo membro una generica f(x) non nulla.

Per la determinazione dell’integrale particolare della non omogenea, y0(x), si può ricor-
rere al cosiddetto metodo della variazione delle costanti, dovuto a Lagrange, descritto
dal seguente:

Teorema: Siano y1(x) ed y2(x) due integrali linearmente indipendenti dell’equazione dif-
ferenziale omogenea associata alla (*). Siano inoltre () () due funzioni tali che
1
2
′
′
() () + () () = 0
2
1
1
2
le loro derivate prime risolvano il sistema:{ Allora un
′
′
() () + () () = ()
1
2
2
1
integrale particolare della (*) sarà una funzione della forma: y0(x) = ()y1(x)+ )
1
= ()y2(x) .
2
Esercizio 1: y ‘‘- 6y ‘+ 5y = 0. Osserviamo innanzitutto che l’equazione assegnata è: li-
neare (non compaiono i termini misti in y e nelle sue derivate), del secondo ordine (figura
il termine y’’ ), omogenea (il termine noto è nullo) e a coefficienti costanti (1, -6, 5 sono
delle costanti).
2
L’equazione caratteristica ad essa associata è data da: - 6 + 5 = 0 le cui soluzioni 1,2=
3±√9 − 5 = 3±2 → 1 = 1 e 2 = 5 sono reali e distinte, essendo ∆ > 0 .
Dunque un integrale generale dell’equazione differenziale è della forma: y(x) = c1 +
1

c2 ➔ y(x) = c1 + c2 5 .
2
Esercizio 2: y’’- 2y’+ y = 0. Osserviamo innanzitutto che l’equazione assegnata è: lineare
e del secondo ordine, omogenea e a coefficienti costanti.

2
2
L’equazione caratteristica ad essa associata è data da: -2 +1 = 0 ➔( -1) = 0 le cui
soluzioni 1,2 = 1 sono reali e coincidenti, essendo ∆ = 0.
Dunque un integrale generale dell’equazione differenziale è della forma: y(x) = c1 +
1

c2 x ➔ y(x) = c1 + c2
2
Esercizio 3: y’’- 2y’+ 2y = 0. Osserviamo innanzitutto che l’equazione assegnata è: li-

neare, del secondo ordine, omogenea e a coefficienti costanti.

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