Page 52 - Capire la matematica

Semplificando si ottiene:

Riduciamo allo stesso denominatore m- 1 ed eliminiamo il denominatore, essendo m ≠
2
2
1. Abbiamo x + 3m - 3 + m –m - 2mx - 2x = 0, che scritta in forma canonica diventa:
2
2
x - 2x(m + 1) + m + 2m - 3 = 0.
Discussione:

- il primo coefficiente, essendo uguale a 1, non dipende dal valore del parametro
m, quindi l’equazione è di secondo grado per qualunque valore di m ∈ \{0, 1}
2
- il secondo coefficiente è -2(m+1): se m = -1 l’equazione diventa x -4 = 0, equa-
zione pura con due soluzioni reali opposte x1 = -2 e x2 = 2
2
- il terzo coefficiente è m + 2m - 3: se m2 + 2m- 3 = 0 → m = 1 o m = -3. L’equazione
2
diventa x + 4x = 0, equazione spuria con due soluzioni reali x1 = 0 e x2 = -4.
Per tutti i valori di m∈ {−3, −1, 0, 1} l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni

reali dipende dal discriminante.

∆
2
2
Possiamo calcolare = (m+ 1) - (m + 2m- 3) = 4; esso risulta indipendente dal valore
4
del parametro m e sempre positivo, quindi l’equazione ammette sempre due soluzioni
reali distinte x1 = m – 1 e x2 = m + 3.

Relazioni tra soluzioni e coefficienti

2
Consideriamo una generica equazione di secondo grado ax + bx + c = 0. Nell’ipotesi in
cui ammetta soluzioni reali (cioè ∆ > 0), sommando e moltiplicando le soluzioni (o ra-
dici) dell’equazione si ha:

- 52 -