Page 56 - Capire la matematica

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1. 2x - 6x - 56 = 0. L’equazione ha soluzioni reali in quanto ∆ = 484 > 0; dal momento
che vi è una sola variazione le radici sono discordi e il valore assoluto maggiore è
quello della radice positiva poiché che la variazione è nella coppia (a, b).
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2. -3x -24x-21 = 0. L’equazione ha soluzioni reali in quanto ∆ = 324 > 0; dal momento
che non vi sono variazioni, l’equazione ha due radici negative.
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3. x - 10x + 25 = 0. L’equazione ha due soluzioni coincidenti in quanto ∆ = 0; dal
momento che vi sono due variazioni, le due radici coincidenti sono positive.

Equazioni Parametriche

Definizione: Si definisce parametrica un’equazione i cui coefficienti dipendono da un
parametro.

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L’equazione 3x + (k - 1)x + 2 - 3k = 0 è parametrica di secondo grado nell’incognita x; i
suoi coefficienti dipendono dal valore del parametro k e quindi la natura e il segno delle
sue soluzioni dipendono da k.

Nota: k e x giocano un ruolo molto diverso fra loro. K rappresenta una variabile che può
assumere un qualsiasi valore a nostro piacere, mentre x rappresenta l’incognita cioè una
variabile che può assumere solo determinati valori, ovvero quelli che verificano l’egua-

glianza, anche se in questo caso possono variare a seconda dei valori attribuiti a k.

Spesso nei problemi di applicazione della matematica in situazioni reali in cui compare

un parametro, interessa sapere solo se le soluzioni hanno determinate caratteristiche,
determinabili attraverso alcune relazioni tra le sue soluzioni:

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- soluzioni reali se ∆ = b - 4ac ≥ 0; reali coincidenti se ∆ = 0, reali distinte se ∆ > 0;

- la somma delle soluzioni è x1 + x2 = − ;

- il prodotto delle soluzioni è x1 ∙ x2 = .

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Nell’equazione 3x + (k - 1)x + 2 - 3k = 0 si ha ∆ = (k - 1) - 12(2 - 3k) dipendente dal
parametro k. Dall’analisi del ∆ si potranno dedurre quali condizioni deve verificare k af-
finché esistano soluzioni reali.

−1 2−3
Analizzando somma e prodotto x1 + x2 =− e x1 ∙ x2 = potremo stabilire il segno
3 3
ed altre caratteristiche delle soluzioni.

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Esempio: data l’equazione (k+1)x + (2k + 3)x + k = 0, stabilire per quale valore di k
a) l’equazione si riduce al primo grado;

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