Page 54 - Capire la matematica

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Dati: 2p = 2( + ) = 80m, Area = 375m .
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Obiettivo: determinare .

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̅̅̅̅ 2
̅̅̅̅ 2
Soluzione: sappiamo per il teorema di Pitagora che = √ + . Poniamo =
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e = , con x, y > 0.
+ = 40
Il problema si formalizza con il sistema{
∙ = 375
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I numeri richiesti sono le soluzioni reali positive dell’equazione t - 40t + 375 = 0 e preci-
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samente t1 = 15 e t2 = 25. Per cui = 25 e = 15. Sostituendo nella formula
̅̅̅̅√̅̅̅̅ 2
̅̅̅̅ 2
abbiamo: + = √625 + 225 = √850 = 5√34.

Regola di Cartesio

Se in un’equazione di secondo grado i coefficienti sono tutti diversi da zero e il discrimi-
nante è ≥ 0, allora è possibile avere delle informazioni sui segni delle soluzioni senza
calcolarle esplicitamente.

La regola dei segni di Cartesio stabilisce che il numero di radici reali positive di un poli-
nomio p(x) a coefficienti reali è minore o uguale al numero dei cambiamenti di segno
nella sequenza dei coefficienti non nulli di p(x), ordinati secondo le potenze di x crescenti
o decrescenti, e la differenza è un numero pari.

Approfondimento: per capire meglio questa regola, è utile ripassare il Teorema dei Va-
lori Medi [Sia f : I → R una funzione continua definita sull’intervallo chiuso e limitato I

⊂R e a valori reali. Allora f (I) è un intervallo] e il Teorema di Rolle [Sia p(x) una funzione
polinomiale a coefficienti reali. Tra due zeri reali a e b consecutivi, a < b , di p(x), esiste
un numero dispari di zeri reali di p’(x)].

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Nota: In un’equazione ax + bx + c = 0, dove i coefficienti sono tutti non nulli, le coppie
di coefficienti (a, b) e (b, c) sono dette coppie di coefficienti consecutivi. Una coppia di
coefficienti consecutivi presenta:

- una permanenza se i coefficienti hanno lo stesso segno;
- una variazione se i coefficienti hanno segni diversi.

I casi che possono presentarsi sono 4:

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