Page 30 - Capire la matematica
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Vedremo ora che l’operazione inversa della potenza, l’estrazione di radice, non è interna
nell’insieme dei numeri razionali.
Questo indurrà ad ampliare l’insieme ℚ.
La radice quadrata di un numero razionale positivo o nullo è quel numero, positivo o
nullo, che, elevato al quadrato, dà come risultato il numero dato.
Definizione: Per ogni numero razionale b = , , ∈ , ≠ 0 e per ogni numero reale
positivo, si ha: = √ .
1 1 1
Se l’esponente è negativo, allora − =( ) = = .
√
I numeri reali non sono “numerabili”.
La Radice
Definizione di radice: Per ogni a > 0, n ∈ N si ha:
√ = ⟺ =
Dove b ≥ 0 si dice radice ennesima aritmetica del numero a.
Se n è pari anche - b è radice ennesima (algebrica) di a; mentre se n è dispari, la radice
esiste ed è unica anche se a < 0.
Radice di un numero positivo o nullo: Dati un numero naturale n, diverso da 0, e un
numero reale a, positivo o nullo, la radice n-esima di a è quel numero reale b, positivo o
nullo, la cui potenza con esponente n è uguale ad a.
Non esiste in R, la radice quadrata di un numero negativo.
Definizione: Dato un numero reale x, diciamo sua radice ennesima algebrica √, l’unico
n
numero reale y concorde con x, se esiste, per cui si ha: y = x.
Dati due numeri reali a e b, non negativi, e un numero naturale n, diverso da 0, se a e b
sono uguali, sono uguali anche le loro potenze n-esime e viceversa.
Dato un 8le, si può ottenere un radicale equivalente moltiplicando per uno stesso nu-
mero naturale (diverso da 0) sia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando. Un
radicale si dice irriducibile (cioè non semplificabile) quando il suo indice e l’esponente
del radicando sono primi fra loro.
Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso
indice e per radicando il prodotto dei radicandi, ossia
√ ∙ √ = √ ∙ .
In generale, considerato il radicale √ , con a ≥ 0 e m≥n, e indicati con q il quoziente
della divisione m/n e con r il resto, poiché vale la relazione m = n∙q + r , si ha:
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