Page 253 - Storia del Pensiero Matematico e suoi Aneddoti
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Cantor, la teoria degli insiemi 241
Il contributo di George Cantor (1845 – 1918) alla teoria degli
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insiemi ha permesso di fondare l’intera matematica su di
essi.
Cantor arrivò a questa scoperta attraverso lo studio di
problemi dell’analisi classica, legate cioè al tentativo di
mostrare come i concetti e gli oggetti matematici fossero di
natura puramente logica.
Lo studio della logica risale ai tempi di Aristotele, e rappresenta la scienza della
dimostrazione. Infatti un enunciato, abbiamo già visto, che può essere costituito da più
proposizioni collegate fra loro, ma la sua sola correttezza grammaticale o semantica non
può essere sufficiente ad assegnare all’enunciato un valore di verità.
La logica costituisce una conoscenza complessiva, a priori, su cui si basano tutte le
possibili deduzioni.
La teoria di Cantor si fondava su due soli principi: il principio di estensionalità 272 e il
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principio di comprensione .
La scoperta che su questi due principi così semplici e logicamente elementari si potesse
fondare l’intera matematica, fu considerata il punto d’arrivo della sua storia: la
geometria era stata ridotta all’analisi, l’analisi all’aritmetica e l’aritmetica a sua volta alla
pura logica: la “teoria degli insiemi”.
Il concetto di insieme si basa su un processo mentale di astrazione, consistente nel
prendere in considerazione più oggetti distinti in un’unica entità.
Gli oggetti costituenti un dato insieme A si chiamano elementi di A. Inoltre deve essere
sempre possibile stabilire se un oggetto appartenga o meno all’insieme dato.
Gli insiemi vanno indicati sempre con una lettera maiuscola, mentre i suoi elementi con
le lettere minuscole.
Nota: il concetto di numero non è primitivo in matematica, ma si può derivare da quello
di insieme. Esistono, infatti, diversi insiemi numerici.
271 L’insieme è un ente primitivo.
272 Un insieme è completamente determinato dai suoi elementi, e due insiemi con gli stessi elementi sono dunque uguali.
273 Ogni proprietà determina un insieme, costituito dagli oggetti che soddisfano la proprietà; e ogni insieme è determinato
da una proprietà, che è appunto quella di essere un oggetto appartenente all’insieme.