Page 253 - Storia del Pensiero Matematico e suoi Aneddoti
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Cantor, la teoria degli insiemi                                      241



            Il contributo di George Cantor (1845 – 1918) alla teoria degli

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            insiemi  ha permesso di fondare l’intera matematica su di
            essi.

            Cantor  arrivò  a  questa  scoperta  attraverso  lo  studio  di

            problemi  dell’analisi  classica,  legate  cioè  al  tentativo  di
            mostrare come i concetti e gli oggetti matematici fossero di

            natura puramente logica.


            Lo  studio  della  logica  risale  ai  tempi  di  Aristotele,  e  rappresenta  la  scienza  della

            dimostrazione. Infatti un enunciato, abbiamo già visto, che può essere costituito da più
            proposizioni collegate fra loro, ma la sua sola correttezza grammaticale o semantica non
            può essere sufficiente ad assegnare all’enunciato un valore di verità.


            La  logica  costituisce  una  conoscenza  complessiva,  a  priori,  su  cui  si  basano  tutte  le

            possibili deduzioni.


            La teoria di Cantor si fondava su due soli principi: il principio di estensionalità         272  e il
                                         273
            principio di comprensione .

            La scoperta che su questi due principi così semplici e logicamente elementari si potesse

            fondare  l’intera  matematica,  fu  considerata  il  punto  d’arrivo  della  sua  storia:  la
            geometria era stata ridotta all’analisi, l’analisi all’aritmetica e l’aritmetica a sua volta alla

            pura logica: la “teoria degli insiemi”.


            Il concetto di insieme si basa su un processo mentale di astrazione, consistente nel
            prendere in considerazione più oggetti distinti in un’unica entità.


            Gli oggetti costituenti un dato insieme A si chiamano elementi di A. Inoltre deve essere

            sempre possibile stabilire se un oggetto appartenga o meno all’insieme dato.

            Gli insiemi vanno indicati sempre con una lettera maiuscola, mentre i suoi elementi con

            le lettere minuscole.


            Nota: il concetto di numero non è primitivo in matematica, ma si può derivare da quello
            di insieme. Esistono, infatti, diversi insiemi numerici.






            271  L’insieme è un ente primitivo.
            272  Un insieme è completamente determinato dai suoi elementi, e due insiemi con gli stessi elementi sono dunque uguali.
            273  Ogni proprietà determina un insieme, costituito dagli oggetti che soddisfano la proprietà; e ogni insieme è determinato
            da una proprietà, che è appunto quella di essere un oggetto appartenente all’insieme.
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