Page 60 - Capire la matematica
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> 0
Y) Le radici siano entrambe negative. Si risolve il sistema: {
− < 0
1 1
Z) Nelle espressioni più complesse, come ad esempio 3∙ ( ∙ ) + ( + ) = , o altre
2
1
2
1
2
espressioni simili, basterà sostituire:
x1 + x2 = − e ∙ =
1 2
2
Esercizio 1: Assegnata l’equazione (1 - k)x + (k - 2)x + 1 = 0, stabilire i valori da asse-
gnare al parametro k affinché le soluzioni reali distinte abbiano la somma positiva.
∆> 0
Svolgimento: Il problema si formalizza attraverso il sistema{
− > 0
2
(k − 2) − 4(1 − ) > 0
→{ −2 .
− > 0
1−
2
Risolviamo la prima disequazione: k > 0 → I.S.1 = {∀ ∈ | ≠ 0} e la seconda dise-
quazione studiando il segno del numeratore e del denominatore:
: − + 2 > 0 → < 2
{ da cui, con la tabella dei segni:
: 1 − > 0 → < 1
ricaviamo I.S.2 = {{∀ ∈ | k . . . . . . . . . ∨ k > . . . . . . . . .}. Dal grafico a destra inoltre
otteniamo I.S. = I.S.1 ∩ I.S.2 = {∀ ∈ | k . . . . . . . . . ∨ 0 < < ⋯ .∨ … . }.
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Esercizio 2: Assegnata l’equazione (k + 1)x + (k + 3)x + k = 0 stabilire per quale valore
di k una sua soluzione è x = -1. In tale caso determinare l’altra soluzione.
Svolgimento: Sappiamo che un valore numerico è soluzione di un’equazione se sosti-
tuito all’incognita trasforma l’equazione in una uguaglianza vera. Per questo motivo,
sostituendo all’incognita il valore assegnato, il parametro k dovrà verificare l’ugua-
2
glianza: (k + 1)(-1) + (k + 3)(-1) + k = 0 ) →. . . . . . . . . . . . Sostituendo il valore di k
2
trovato, l’equazione diventa: 3x + 5x + 2 = 0; l’altra soluzione può essere trovata o con
la formula risolutiva, oppure ricordando che x1 + x2 = -b/a = -5/3 da cui x2 = . . . . . . o
anche x1 ∙ x2 = c/a = 2/3 da cui x2 = . . . . . .
Per determinati valori del parametro k si verificano ben determinate condizioni. Analiz-
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ziamole: x - 2(k + 1)x + 1 = 0
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