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Teoremi sulle Funzioni Continue

La continuità di una funzione in un punto è data dal fatto che il suo grafico non faccia un
“salto” in quel punto.

Definizione. La funzione f(x) si dice continua nel punto a se

lim () = , cioè se f(a) = L.
→

La funzione somma, differenza e prodotto di più funzioni continue in un punto x0 sono
ancora funzioni continue.

Teorema delle Funzioni Elementari: tutte le funzioni dotate di espressione elementare
sono continue In tutti i punti dell’insieme di esistenza in cui sono definite.

Teorema della Permanenza del Segno: se una funzione f(x) è continua in x0 ed è positiva
(negativa) in x0, allora essa è definitivamente positiva (negativa) intorno a x0.

Teorema di Weierstrass: se una funzione f(x) è continua in [a,b], allora ammetterà in
tale intervallo sia un punto di minimo che un punto di massimo.

Teorema di Bolzano: se una funzione f(x) è continua in un intervallo [a,b], allora f assu-

merà in tale intervallo, ogni valore compreso tra il suo minimo e il suo massimo.

Teorema di esistenza degli Zeri: se f(x) è continua in [a,b] e negli estremi assume valori
di segno opposto, allora esisterà almeno un punto interno ad [a,b] in cui la funzione si
annullerà.

Teorema sulle Funzioni Composte: La funzione composta g(f(x)) è continua in x0 se f è
continua in x0 e g è continua in y0 = f(x0), pertanto una funzione composta di funzioni
continue è continua.

I punti di discontinuità di una funzione reale f(x)

I punti di discontinuità di una funzione reale f(x) sono sia i punti di accumulazione al
finito per X che non appartengono a X e sia i punti di accumulazione che appartengono
ad X nei quali f non è continua.

Questo vuol dire che se x0 è un punto accumulazione per X e se x0 non appartiene a X
oppure x0∈X ma la funzione non è continua in x0, allora si dice che x0 è un punto di di-
scontinuità per f.

Si distinguono 3 tipi di discontinuità per f:

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