Page 479 - Capire la matematica

Successioni Reali

Definizione: Diciamo successione numerica un insieme ordinato di numeri reali.

Una successione si indica con { an} ∈ o più semplicemente {an}. Il suo generico ele-
mento che nell’insieme occupa la posizione numero n si indica con an.

Le successioni di numeri reali sono funzioni in cui l’insieme di partenza è costituito dai

numeri naturali e l’insieme d’arrivo dai numeri reali.

I valori di una successione, a seconda dell’assegnazione che la caratterizza, possono “ac-
cumularsi” intorno a un qualche numero reale.

Quando al crescere di n i valori assunti dalla successione tendono ad avvicinarsi indefi-
nitamente al numero 0, diciamo che la successione converge a 0 (o ha per limite 0). Se
invece questo non accade, diciamo che la successione diverge.

1
Una successione particolarmente interessante è: f: n →(1 + ) . Il limite di questa suc-

cessione è un numero reale trascendente, denotato con il simbolo ‘e’, detto numero di
Nepero.

Essendo e un numero irrazionale, la sua espressione decimale è infinita e non periodica.

Le sue prime cifre sono 2,71828192…

progressione aritmetica

Diciamo progressione aritmetica una successione numerica in cui la differenza tra due
elementi consecutivi è costante. In simboli an+1 – an = d, ∀n ∈ ℕ ; d si chiama ragione

della progressione.

Teorema: Fra due distinti elementi di una stessa progressione aritmetica di ragione d, ap
e at, con p > t, vale la seguente relazione: ap = at + (p – t) ⋅ d.

∙(+1)
Teorema: La somma dei primi n numeri naturali è data da 1 + 2 + 3 + …+ n = .
2
Teorema: In una progressione aritmetica di ragione d, la somma dei primi n elementi è
1
1
data dalla formula: = ∑ = ∙ 2 +(−1)∙ = + ∙ .
=1

2
2

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