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Teoremi sui Limiti

Teorema di Unicità del limite: se f(P) ammette limite in P0, questo limite è unico.

Teorema di Permanenza del segno: se f(P) ammette in P0, un limite l ≠ 0 ∃ ( ) in tutti
0
i punti del quale, escluso P0, la funzione assume valori aventi lo stesso segno del suo
limite.

Teorema dei 2 Carabinieri: date 3 funzioni f1(P), f2(P) e f3(P) se f1(P) e f3(P) hanno lo stesso

limite l in P0 X, dove X è l’insieme di definizione, ∃ I(P0) in cui f1(P) ≤ f2(P) ≤ f3(P) allora
lim .
→ 0

2° Teorema del Confronto: se I(P0) |f1(P)| ≤ f2(P) e se in P0, f2(P)→0, allora anche f1(P)
→ 0 per p→p0.

3° Teorema del confronto: I(P0) |f1(P)| ≥ |f2(P)| e se in P0 f2(P)→+∞ allora anche
f1(P)→∞ per P→P0.

∞ > 0
Limiti notevoli da ricordare : lim ∙ = { = 0 , ∈ ;
→∞
0 < 0
1 (log )
lim (1 + ) = ; lim = 0 > 0, ∈ ; lim = 0 ∈ , > 1;
→∞ →∞ →∞
∞ > 0
1− 1 tan
lim = ; lim = 1; lim ∙ = { = 0 , ∈ ;
→∞ 2 →0 →∞
0 < 0

1 −1 (log )
lim (1 + ) = ; lim = 1 lim = 0 > 0, ∈ ; lim = 0 ∈
→∞ →0 →∞ →∞
sin 1−cos 1−cos 1 ln (1+)
, > 1; lim = 1, lim = 0, lim = , lim = 1
→0 →0 →0 2 2 →0
Capire i limiti: La scrittura di limite è la seguente:

lim() =
→
Si legge: “il limite di f(x) per x tendente ad a è L”. Questo vuol dire che quanto più x si
avvicina ad a, tanto più f(x) si avvicina a L.

Esempio:
lim 2 = 6
→3
possiamo vedere che all’avvicinarsi di x a 3 (per valori minori di 3), f(x) si avvicina a 6.

Formalmente si scrive come:

lim () = 6
→3 −

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