Page 431 - Capire la matematica

Elementi di Topologia e Trasformazioni Geometriche

Lo studio matematico dei labirinti, come la soluzione del problema dei “ponti di König-

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sberg ”, portò Leonardo Eulero a stabilire i fondamenti di una nuova scienza, la topolo-
gia.

Eulero dimostrò che non esisteva soluzione e per farlo matematicamente, trasformò le

quattro parti della città, collegate dai ponti, in punti, e i sette ponti in linee di collega-
mento fra questi punti, dando vita a quello
che oggi chiamiamo grafo, con nodi, i
punti, archi e linee.

Per risolvere un labirinto, la soluzione più
rapida è quella di annerire tutte le vie
chiuse. In questo modo rimarrà solo il per-

corso diretto dall’ingresso alla meta.

Molto più complicato è, invece, orientarsi
in un labirinto tridimensionale. Per quelli più semplici, dove c’è un solo ingresso sarà

sufficiente tenere sempre la destra (o la sinistra) per ritornare al punto di partenza,
come fa “frate Guglielmo” nel romanzo “il nome della rosa”.

Due figure piane sono equivalenti o congruenti se esiste una trasformazione piana T che

porta la prima figura nella seconda, cioè F2=T(F1).

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La topologia è la geometria delle deformazioni continue.
Dato un insieme X, assegnare una topologia X significa scegliere i sottoinsiemi di X (in-

torni di X) in modo che valgano i seguenti assiomi:

1) un punto appartiene ad ogni suo intorno;

2) l’intersezione di 2 intorni di un punto è un intorno di quel punto;

3) ciascun intorno di un punto, ne contiene uno che è intorno di ogni suo punto;

4) due punti distinti sono separati da intorni disgiunti.

51 Ci sono sette ponti che collegano i diversi quartieri della città di Königsberg. Il problema consiste nella ricerca di una
soluzione al problema di attraversare tutti i ponti, ritornando al punto di partenza, dopo essere passati una volta e una sola
da ognuno di essi.
52 La scienza dei luoghi. Studia le proprietà delle figure che non cambiano quando viene effettuata una deformazione che
non provochi né rotture né sovrapposizioni di punti.

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