Page 427 - Capire la matematica

Detta X = [x1, x2, ..., xn]T la matrice colonna delle incognite e B = [b1,..,bm]T la matrice
colonna dei termini noti, è possibile esprimere il sistema precedente con l’equazione
matriciale AX=B.

Interpretazione Geometrica dei Sistemi di Equazioni Lineari

La soluzione di un sistema di equazioni lineari in n incognite può essere interpretata
come l’intersezione di iperpiani dello spazio a n dimensioni.

Per sistemi di piccole dimensioni l’interpretazione geometrica fornisce anche un metodo

grafico per la risoluzione del sistema.

Nel caso di 2 equazioni è possibile ottenere una soluzione tracciando il grafico delle
equazioni stesse in coordinate cartesiane.

Ogni equazione rappresenta una retta.

Possiamo considerare x1 per asse x e x2 per asse y e poi risolviamo le equazioni rispetto
a x2. Poi rappresenteremo le rette nel sistema cartesiano.

I valori di x1 e x2 all’intersezione delle 2 rette rappresenta la soluzione.

Nel caso di un sistema di tre equazioni in tre incognite, ad ogni equazione corrisponde
un piano in un sistema cartesiano ortogonale tridimensionale; il punto di intersezione
comune a tutti e tre i piani rappresenta la soluzione.

Regola di Cramer: stabilisce che il valore di ciascuna incognita di un sistema di equazioni
lineari algebriche può essere ottenuto tramite la seguente formula:

∆
= det() j=1,…,n

dove det(A) è il determinante della matrice dei coefficienti A e ∆ è il determinante della

matrice ottenuta sostituendo la j-esima colonna di A con il termine noto b. Applicando
a x + a x + a x = 1
12 2
11 1
13 3
la formula ad un sistema di tre equazioni in tre incognite {a x + a x + a x =
23 3
22 2
2
21 1
a x + a x + a x = 3
32 2
33 3
31 1
1 12 13 11 1 13
[ 2 22 23 ] [ 21 2 23 ]
3 32 33 31 3 33
si ottiene x1 = x2 =
det () det ()
11 12 1
[ 21 22 ]
2
x3 = 31 32 3 .
det ()
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