Page 134 - Storia del Pensiero Matematico e suoi Aneddoti

2. la geometria differenziale, in cui vengono applicate alla geometria le tecniche del
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calcolo differenziale e integrale;

3. la geometria algebrica, in cui si applicano alla geometria le tecniche dell’algebra;
4. la geometria discreta (o combinatoria), che studia le proprietà discrete degli

oggetti geometrici.

Di queste, solo la geometria differenziale e la geometria algebrica 142 possono essere
considerate come una naturale evoluzione della geometria analitica di Cartesio.

L’imperfezione dell’aritmetica

Le geometrie che si basano su postulati

diversi da quelli elencati da Euclide
vengono dette “geometrie non euclidee”

e in queste geometrie non vale mai il teorema di Pitagora. In realtà, nella maggior parte
di queste geometrie, si contesta solo il quinto postulato, quello delle rette parallele.

Quanta influenza abbiano avuto questi postulati sulla formazione del nostro sistema
logico e del nostro pensiero filosofico, è testimoniato anche dagli innumerevoli sforzi,

fatti da matematici e filosofi per dimostrare il quinto postulato di Euclide, quello delle
rette parallele: “In un piano, per un punto fuori di una retta data, si può condurre una

ed una sola parallela a tale retta”, oppure semplificando ancora di più, “due rette si
dicono parallele, quando non si incontrano mai”.

142 La geometria algebrica può essere vista come uno sviluppo della geometria analitica di Cartesio in quanto ricorre a
tecniche algebriche per la soluzione di problemi. In particolare può essere definita come “lo studio delle soluzioni dei sistemi
di equazioni algebriche”, dove a ogni punto dello spazio corrisponde una soluzione di un certo sistema di equazioni
polinomiali. Il suo scopo, però, non è quello di risolvere queste equazioni, ma piuttosto di individuare la struttura generale
di tutte le soluzioni.