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Funzioni di piú variabili (reali)

m
n
Consideriamo funzioni f: R → R , con n > 1, m≥ 1.

m
Se X ⊆ ∈ , allora una funzione f: X → R , x → f(x) è una legge di natura qualsiasi

che ad ogni punto x ∈ fa corrispondere uno e uno solo elemento f(x) ∈ .
- Se n > 1 e m = 1, le funzioni si dicono funzioni scalari di n variabili reali; se m = 1,
il codominio è R ed è possibile estendere, dal caso n = m = 1, le definizioni di
funzione limitata e di estremo superiore ed inferiore.

II grafico della funzione è un sottoinsieme di R : Gf = {(x, z): z = f(x), x ∈ }
n+1
- Se n = 2 il grafico è una superficie. Una rappresentazione della funzione si può
ottenere tracciando nel piano xy le curve lungo le quali la funzione f ha valore
2
costante; data una funzione f: X⊆ → , si dice curva di livello k della funzione
f l’insieme
Ck = {(x, y)∈ : (, ) = }

Geometricamente, Ck rappresenta la proiezione ortogonale sul piano xy dell’in-
tersezione tra il grafico Gf della funzione ed il piano di equazione z = k.

Definizione: Si dice intorno circolare aperto di X0∈ , di raggio > 0, I’insieme così de-
finito:

B(x0, ) = { ∈ : || − || < }, dove || ||ndica una norma 133 su .
0

Un intorno di x0 ∈ è un qualsiasi insieme che contiene un intorno circolare aperto di
x0.

Si definisce intorno di ∞, l’insieme B(∞, ) = {x∈ : |||| > }.

Definizioni: • un punto x(x1, x2, …, xn) è punto di accumulazione per un insieme E⊆ se
in ogni intorno circolare di centro x cadono punti di E distinti da x; in modo equivalente,
se in ogni intorno circolare di centro x cadono infiniti punti dell’insieme E.

• Un punto di un insieme E che non è di accumulazione per E si dice punto isolato (di E).

• Un punto X si dice interno all’insieme E se esiste un intorno circolare di X costituito
interamente da punti appartenenti ad E.

• Un punto X si dice esterno all’insieme E se è interno al complementare di E.

2
133 La norma generalmente usata è la norma euclidea || ||2 = ||x||2 = √∑ .
=1

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