Page 965 - Capire la matematica

b. a) Osserviamo preliminarmente che sicuramente la lunghezza incognita x soddisfa la
condizione 0 < x < a. Infatti, se così non fosse la lunghezza a - x sarebbe negativa e non

potrebbe essere la misura del lato di un triangolo.

Ricordando che un in un triangolo le misure dei suoi lati devono soddisfare la condizione
che la somma di due lati è maggiore del rimanente, si ha:

da cui 0 < x < a/2.

Pertanto possiamo affermare che scegliendo x, con la condizione 0 < x < a/2, le tre
lunghezze assegnate possono rappresenta le misure dei lati di un triangolo.

b. Calcoliamo l’area del triangolo con la formula di Erone. Si ha:

essendo 2a il semiperimetro.
Osserviamo che la funzione area è definita nell’intervallo [0, a/2], il che si vede

imponendo il radicando maggiore uguale di zero e risolvendo la disequazione così
ottenuta. Si ha:

Ricordato che la radice quadrata assume valore massimo o minimo a seconda che sia
massimo o minimo il suo radicando possiamo ricercare il massimo e minimo del

radicando, cioè della funzione
2
3
f(x) = x(x+a)(a - 2x)= -2x – ax + a 2
avendo trascurato, come è lecito, il coefficiente moltiplicativo 2a.
2
2
La derivata prima è f’(x) = - 6x - 2ax + a e la disequazione:

2
2
f’(x) ≥ 0 ⇒ - 6x - 2ax + a ≥ 0 è verificata per .

Pertanto la funzione area ammette un massimo nel punto .

Nei punti x = 0 ed x = a/2 ci sono dei minimi ma per tali valori il triangolo è non degenere
in quanto si riduce ad un punto.

Osserviamo che essendo a > 0. Infatti, se fosse
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