Page 89 - Capire la matematica

Il Logaritmo

Diciamo logaritmo in base 10, e di argomento positivo a, il numero reale log(a) soluzione
x
dell’equazione esponenziale 10 = a, a > 0.
Log(x) ha significato solo per x > 0.
1 −3
x
Esempio: Si ha log(10) = 1, log(100) = 2, …, log(10 ) = x, ∀x∈ℝ ; log( ) = log(10 ) =
1000
−3.
Definizione: Diciamo logaritmo in base b positiva e diversa da 1 e di argomento positivo
x
a, il numero reale logb(a), soluzione dell’equazione esponenziale b = a.
2
1
2
3
-5
4
Esempi: log3(81) = log3(3 ) = 4; log2( ) = log2(2 ) = -5; log5(√25) = (5 3) = .
5
32 3
< 0 (0 < < 1) (0 < < 1 > 1)
Teorema: loga(b){ = 0 > 0 ≠ 1 = 1 .
> 0 (0 < < 1 0 < 1) ( > 1 > 1)
n
n+1
Teorema: a <b<a → n< loga(b) < n+1, ∀ ∈ .
Definizione: All’aumentare del numero natu-
1
rale n, la quantità (1 + ) ≅ 2.718, che viene

chiamato numero di Nepero e si indica con e.
Definizione: Il logaritmo in base e si indica con
ln(a).
Esempio: Abbiamo visto che log3(81) = 4. Ciò
4
vuol dire che 3 = 81, che si può anche scrivere
come 3 log (81) = 81.
3
Vediamo graficamente la funzione y = loga(x).
Osservazione: Tutte le funzioni passano per il
p.to (1,0) e sono definite solo per x > 0. Inoltre, se la base è maggiore di 1, sono negative
per x < 1 e positive per x > 1. Viceversa se la base è minore di 1.
+
log ( ∙ ) = log () + log (), ∀, , ∈ , ≠ 1

+
Proprietà: { log ( ) = log − log , ∀, , ∈ , ≠ 1

+

log = ∙ log , ∀, ∈ , ≠ 1

log +

Teorema: Formula del cambiamento di base. log = , ∀, , ∈ , , ≠ 1.

log

4 3+1 −7
Esempio: Risolvere la seguente disequazione fratta ≥ 0. Determiniamo
3 2+5 −2
singolarmente il segno di numeratore e denominatore. 4 3+1 − 7 ≥ 0 → 3 + 1 ≥
log 7 − 1
4
log 7 → ≥ 3 e 3 2x+5 -2>0 → 2x+5 > log32 → x
4
log 2 −5
3
> .
2
Adesso dobbiamo determinare quale dei due numeri è
maggiore. Il primo numero è positivo, infatti log47 > 1,
mentre il secondo è negativo,log32 < 5.
Rappresentandoli graficamente avremo:
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