Page 575 - Capire la matematica

Esercizio 2: Dire se sono soddisfatte le ipotesi del Teorema della media, ed eventual-
mente applicarlo, per la funzione f(x) = 4/(x - 3) nell'intervallo (1, 4].

Soluzione: La funzione data non è definita nel punto x = 3, quindi non può essere conti-
nua in tale punto.

Non si può applicare il teorema.

Esercizio 3: Dire se sono soddisfatte le ipotesi del Teorema della media, ed eventual-
mente applicarlo, per la funzione f(x) = (x - 4) 1/3 nell'intervallo [0, 10].

Soluzione: La funzione è continua ovunque, ma la sua derivata f’(x) = 1/3(x - 4) 2/3 non è
definita in x = 4. Non posso applicare il teorema.

Esercizio 4: Dire se sono soddisfatte le ipotesi del Teorema della media, ed eventual-

mente applicarlo, per la funzione f(x) = x 1/3 nell'intervallo [0, 8].

La funzione è continua, la sua derivata f’(x) = 1/3x 2/3 è definita ovunque fuorché in x = 0.
Le ipotesi del teorema sono soddisfatte, poiché la derivabilità deve sussistere solo inter-
namente all'intervallo richiesto (non negli estremi). Pertanto

Da cui

Teorema di Cauchy: Siano f(x) e g(x) due funzioni continue in [a,b] e derivabili in ]a,b[,

allora se g(a) ≠ g(b) e se le derivate f’(x) e g’(x) non si annullano simultaneamente in
alcun punto di ]a,b[, allora esiste almeno un punto x0 ∈]a,b[ tale che

()−() ′( )
0
= .
()−() ′( )
0
Primo Teorema di L’Hopital: Siano f(x) e g(x) derivabili in I(x0), entrambe infinitesime in
x0, questo equivale a dire che lim () = lim () = 0; se in un I(x0) risulta che g(x) ≠
→x0 →x0
′
0 () ≠ 0 ∀ ≠ x allora lim () = lim ′() ;
0
→x () →x ′()
0
0
Secondo Teorema di L’Hopital: Siano f(x) e g(x) derivabili in un I(x ), f(x) e g(x) infinite
0
in x cioè lim () = lim () = ∞, se I(x ) ℎ g(x) ≠ 0 e g’(x) ≠ 0 allora
0
0
→x0 →x0
() ′()
lim = lim .
→x () →x ′()
0
0
0 ∞
I Teoremi di de L’Hopital sono buoni nella risoluzione delle forme indeterminate .
0 ∞
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