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Derivate di Funzioni Reali di Variabile Reale

La nozione di derivata, insieme a quella di integrale, è alla base del calcolo differenziale.

Se F(x) è una funzione reale di variabile reale definita in X, x0 p.to accumulazione per X
con x0∈X allora la differenza f(x) - f(x0) è una funzione della variabile x, definita in X e

nulla in x0 [perché f(x0) - f(x0) = 0], e per ∀ ∈X rappresenta la variazione che subisce la
funzione quando la variabile indipendente passa dal valore x al valore x0.

Tale differenza è definita incremento della funzione, relativa al punto x0.

Si definisce rapporto incrementale della funzione f relativo al punto x0 il rapporto
()−( ) che è una funzione in X - {x0}.
0
− 0

Si dice che la funzione f è derivabile in x0 se esiste finito il limite del rapporto incremen-
tale per x→x0.

Tale limite prende il nome di derivata della funzione nel p.to x0:

()−( )
f’(x) = lim 0 .
→ 0 − 0
Se la funzione f(x) è derivabile in ogni punto di un intervallo [a, b], allora si dice che f è
derivabile in [a, b] e la funzione f’(x): x[a, b] →f’(x) che associa ad ogni punto la deri-

vata f’(x) di f(x) è la funzione derivata di f.

Se il rapporto incrementale diverge, cioè il limite esiste ma è infinito, la funzione non è
derivabile.

Si parla di derivabile a sinistra o a destra se esiste finito tale limite per x→x0- (x→x0+) e si
′
′
indica () ().
+
−
Teorema: se la funzione f(x), definita in X è derivabile in x0∈X, allora essa è anche conti-
nua in x0;

Interpretazione Geometrica della Derivata

Il concetto di derivata è legato al problema dell’individuazione della retta tangente al
diagramma di una funzione in un punto.

Il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare m della retta secante la
()−( )
0
funzione nei punti x e x0, cioè .
− 0

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