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Funzioni Continue

Sia f(x) funzione reale di variabile reale definita in X∈R e x0 un punto di accumulazione

per X, se la funzione è convergente in x0, il valore f(x0) e il limite della funzione in x0 non
sono tenuti ad essere uguali, cioè il comportamento di f(x) nei punti di X appartenenti
ad un I(x0) ≠ x0, non è necessariamente in relazione con il valore che la funzione assume

in x0.

Se lim () = f(x0) si dice che la funzione è continua in x0.
→ 0

Teoremi sulle Funzioni Continue

La funzione somma, differenza e prodotto di più funzioni continue in un punto x0 sono
funzioni continue;

Teorema delle Funzioni Elementari: tutte le funzioni dotate di espressione elementare
sono continue In tutti i punti dell’insieme di esistenza in cui sono definite.

Teorema della Permanenza del Segno: se una funzione f(x) è continua in x0 ed è positiva
(negativa) in x0 essa è definitivamente positiva (negativa) intorno a x0.

Teorema di Weierstrass: se una funzione f(x) è continua in [a,b] , ammette in esso un
punto di min e di max.

Teorema di Bolzano: se una funzione f(x) è continua in un intervallo [a,b], allora assume
in esso ogni valore compreso tra il suo min e il suo max.

Teorema dell’esistenza degli Zeri: se f(x) è continua in [a,b] e negli estremi assume valori
di segno opposto, esiste almeno un punto interno ad [a,b] in cui la funzione si annulla.

Teorema sulle Funzioni Composte: La funzione composta g(f(x)) è continua in x0 se f è
continua in x0 e g è continua in y0 = f(x0), pertanto una funzione composta di funzioni
continue è continua.

I punti di discontinuità di una funzione reale f(x) sono i punti di accumulazione al finito
per X che non appartengono a X e i punti di accumulazione che appartengono ad X nei
quali f non è continua, cioè se x0 è un punto di accumulazione per X e se si verifica una

delle seguenti circostanze: x0 non appartiene a X o x0∈X ma la funzione non è continua
in x0, si dice che x0 è un punto di discontinuità per f.

Si distinguono 3 tipi di discontinuità per f(x):

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