Page 559 - Capire la matematica

Serie di Potenze

Supponiamo di voler approssimare una funzione nell’intorno di un punto assegnato me-
diante un polinomio, in quanto questo è più facile da trattare, soprattutto se di deve
calcolare un integrale più complesso e ci va bene un valore approssimato.

Ci viene in soccorso il Teorema di Taylor.

Teorema di Taylor: Data f(x) definita in un intervallo I contenente a, con le prime n + 1
derivate f (n+1) (x) continue su I, costruiamo il polinomio di grado n

e indichiamo con Rn(x) il resto, ossia

Allora esiste un punto w compreso tra a e x tale che

x
Esercizio 1: Applichiamo il teorema di Taylor (con n = 2) alla funzione f(x) = e nel punto
a = 0.
Calcoliamo poi il valore approssimato della funzione nel punto x = 0,2 e un maggiorante
dell’errore così commesso.

Dobbiamo scrivere il polinomio di secondo grado e il corrispondente resto per a = 0.

x
x
x
f(x) = e f’(x) = e x f’’(x) = e f’’’(x) = e
f(0) = f’(0) = f’’(0) = 1 f’’’(w) = e w

valori che sostituiti nell’espressione

Danno

Per x = 0,2 otteniamo

2
S2(0,2) = 1 + 0,2 + (0,2) /2 = 1,22
3
w
R2(0,2) = e (0,2) /6
con w compreso tra 0 e 0,2.

x
Essendo e funzione crescente vale
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