Page 555 - Capire la matematica

Serie di Funzioni

Le serie precedenti erano serie numeriche, perché i loro termini erano numeri; ora ve-

dremo invece serie i cui termini sono funzioni di x, ossia serie di funzioni.

Diremo regione di convergenza l’insieme dei valori di x per i quali la serie converge.

Di solito si usa il criterio del rapporto, col quale si determina la regione di convergenza,

ma poi si deve verificare la convergenza agli estremi di tale regione.

Esercizio 1:

Soluzione: Col criterio del rapporto si ottiene

pertanto la regione di convergenza è per ora IxI < 1 ossia – 1 < x < 1.

Vediamo se è possibile includervi gli estremi. Sostituendo x = 1 e x= -1 nella serie data si
ottengono due serie numeriche, di cui possiamo valutare l’eventuale convergenza.

Per x = 1 otteniamo ovvero la serie armonica, divergente; per x = -1
vale serie a termini di segno alterno, convergente.

In conclusione la regione di convergenza è -1 ≤ x < 1.

Esercizio 2:

Soluzione: È una serie (di funzioni) geometrica, convergente per da cui
|x – 4| < 3 ossia 1 < x < 7.

Sostituendo x = 1 nella serie si ottiene

che diverge.

Per x = 7 ricaviamo

Anch’essa divergente.

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