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Elementi di Calcolo Differenziale ed Integrale

Il Calcolo differenziale e il Calcolo integrale insieme costituiscono il Calcolo infinitesi-

male.

Nel primo di essi, si apprestano i mezzi analitici ne-
cessari per fissare le condizioni locali delle funzioni,

vale a dire, per fissare il comportamento di una de-
terminata curva o superficie nelle vicinanze di un
dato punto.

Dal punto di vista pratico, il differenziale può essere
impiegato come una tecnica di approssimazione.

Questo scopo viene raggiunto sostituendo, in prossimità del punto o istante conside-

rato, alla funzione data un’altra funzione speciale, estremamente più semplice, la quale
ne dà una rappresentazione approssimata di tale natura e l’errore risultante si riduce ad
essere piccolo quanto si vuole, sia in senso assoluto, sia in senso relativo, col restringersi
indefinito del campo in cui avviene la sostituzione.

Data una funzione derivabile y = f(x). si dice differenziale l’espressione

dy = f’(x) dx

Nota: Mentre il s imbolo ∆y rappresenta la variazione effettiva della funzione, dy è la

variazione approssimata.

Il merito di aver fondato il calcolo differenziale con tutta la sua generalità e di averne

messa in evidenza la grande importanza, spetta ad Isaac Newton ed a Goffredo Gu-
glielmo Leibnitz.

Leibnitz espose un metodo generale per trovare i massimi e minimi e per tracciare le
tangenti alle curve.

Ammesso esplicitamente il principio di continuità, egli procedette per differenze di nu-
meri, introducendo le differenze infinitesimali dx e dy rispettivamente fra le coordinate
x ed y di due punti vicinissimi di una curva.

Ciò che noi ora chiamiamo derivata non è altro che il rapporto dy/dx di Leibnitz. L’ele-
mento fondamentale del metodo di Leibnitz è la differenza (dx o dy), che ora, con Gio-
vanni Bernoulli e Leonardo Eulero, chiamiamo differenziale, e che è un infinitesimo.

Il concetto fondamentale su cui poggia tutta l’analisi infinitesimale è quello di limite, e
da esso deriva immediatamente quello di infinitesimo.

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