Page 553 - Capire la matematica

Esempio 3: Quanti termini occorre sommare per calcolare la somma della serie armo-
-2
nica a segni alterni con un errore minore di 10 ?
Dal criterio di Leibnitz segue la stima dell’errore: esso è in modulo minore del modulo
del primo termine trascurato.

1 1
< → > 100.
100

Applicazione del Criterio di Leibnitz

1) ∑(−1) ln Serie a segni alterni. Applichiamo il criterio di Leibnitz: devo verificare

ln
che lim = 0 e che il termine generale sia decrescente. Per farlo calcolo la derivata
→∞
1
ln −ln 1−ln
prima: D’( ) = = . Il denominatore è sempre positivo, quindi per essere
2 2
decrescente dobbiamo trovare i valori di n per cui 1- ln(n) < 0 → ln(n) >1 n>e. Quindi la

derivata da un certo punto in poi è sempre negativa e è . Per il Criterio

di Leibnitz la Serie converge.

2) ∑(−1) ( − arctan ). Serie a segni alterni. Applichiamo il criterio di Leib-
2

nitz: lim − arctan = − = 0. Siccome la funzione arctan x è crescente, - arctan x
→∞ 2 2 2

sarà decrescente e quindi la serie ∑(−1) ( − arctan ) è convergente.
2
3) ∑ ∞ (−1) 1 . La serie data è a termini alterni e si nota subito che non è assoluta-
=1

mente convergente in quanto il termine generale è una serie armonica divergente (k=1),
quindi dobbiamo studiare la convergenza semplice. Utilizziamo quindi il criterio di
1
Leibniz; la successione è chiaramente infinitesima, positiva e monotona decrescente

1 1
in quanto per n < n + 1 si ha > . Quindi per il criterio di Leibniz si ha la convergenza
+1
semplice.

4) ∑ ∞ (−1) ln . La serie non converge assolutamente in quanto il termine generale
=1

ln 1
≥ da un certo n in poi (n≥ 3) è maggiore della serie armonica con k=1 che diverge.

Per quanto riguarda la convergenza semplice, trattandosi di una serie a segni alterni,
ln
proviamo ad applicare Leibniz. lim = 0. Ora dobbiamo verificare che sia decrescente
→∞
1
ln ( ∙−ln ) 1−ln

usando la derivata prima: D’( )= = . Il denominatore è sempre >0. Per
2 2
essere decrescente deve essere 1-ln n <0 → ln n > 1 → n > e. Quindi per n>e la serie è
decrescente e quindi converge.

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