Page 516 - Capire la matematica

Derivata di Funzione Implicita

È possibile derivare una funzione implicita in un solo passaggio!

Sia F(x, y) = 0; posto x = t, calcoliamo dF/dt ossia

= ( ) + ( )

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Esercizio 1: Data la funzione implicita x + y = x y + 1, calcolare dy/dx.
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Soluzione: Posto F(x, y) = x + y - x y - 1 si ha:
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Fx = 2x – 5x y Fy = 3y – 7x y
Otteniamo
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Dy/dx = -Fx/Fy = -(2x – 5x y )/(3y – 7x y )

Massimi e minimi di Funzioni di due variabili

Si dice massimo (minimo) relativo il massimo (minimo) valore di z in una regione del

dominio.

I candidati punti di massimo e minimo relativo sono i punti (a, b) stazionari, ossia quelli
per cui

fx (a, b) = fy (a, b) = 0.

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Se fxx, fxy e fyy sono continue in un intorno del punto (a, b), ponendo D = fxx, fyy – fxy , e lo
calcoliamo per x = a, y = b, abbiamo che:

se vale

A. D > 0, fxx > 0 allora (a, b) è un punto di minimo relativo;
B. D > 0, fxx < 0 allora (a, b) è un punto di massimo relativo;
C. D < 0 allora (a, b) è un punto di sella;

D. D = 0 allora non si sa nulla sulla natura del punto (a, b)3

Nota: il punto di sella è l’analogo del punto di flesso a tangente orizzontale per funzioni
d i una variabile.

Possono esserci ulteriori punti di massimo e minimo relativo, tra i punti di non derivabi-
lità e i punti di frontiera del dominio.

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Esercizio 1: Data la funzione f(x, y) = x + y - 6xy cercare i massimi e minimi relativi.
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