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Funzioni Reali di Variabile Reale

Definizione: le funzioni reali di variabile reale sono funzioni f: A → B in cui il codominio

coincide con l’insieme dei numeri reali R e il dominio è un sottoinsieme di R, ovvero f: A
→ R; A ⊆ R.

Nota: Queste funzioni sono particolarmente interessanti perché il loro grafico può es-
sere rappresentato geometricamente in un piano cartesiano.

Dati due insiemi A e B, che chiamiamo rispettivamente “insieme di partenza” e “insieme

di arrivo”, si dice funzione o applicazione f di A in B una legge che associ ad ogni x ∈ A
uno e un solo y ∈ B.

Nota: x è la variabile indipendente, mentre y è quella dipendente.

Le funzioni sono delle particolari relazioni, mentre non è sempre vero il contrario.

Y = f(x), X = C.E. o Insieme di definizione o dominio, mentre il sottoinsieme di B formato
da tutti i valori assunti da f negli elementi di A, che si indica con f(x), è detto codominio.

Se f(x) = B allora il codominio coincide con l’insieme B.

Ogni elemento del dominio ha un elemento corrispondente sul codominio.

Definizione: una funzione può essere definita come una relazione che associa a ogni ele-
mento del dominio, una e una sola immagine del codominio B.

L’insieme di tutte le immagini di tutti gli x ∈ A tramite f si chiama immagine di f e si

indica con Im(f). L’immagine di f, Im(f) ⊆ B.

Gli elementi del dominio A e del codominio B possono variare in qualunque insieme di
numeri.

Se data una funzione y definita in N e a valori in B, la funzione y: N→B è detta successione
di elementi di Y.

Il grafico di una funzione f: A→B con A,B ⊆ R è il sottoinsieme del prodotto cartesiano
AxB, costituito da tutte le coppie (x, f(x)), cioè da tutte e sole le coppie (x,y) ∈ AxB che

risolvono l’equazione y = f(x).

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