Page 405 - Capire la matematica

Algebra Lineare

L’algebra lineare studia le trasformazioni di oggetti situati in uno spazio m-dimensionale
in altri oggetti corrispondenti in uno spazio n-dimensionale. È utile in moltissime appli-

cazioni, come l’edilizia antisismica, la lotta alle malattie, la protezione della fauna ma-
rina, la grafica digitale, etc., anche se gli unici che riescono davvero a sfruttarne tutte le
potenzialità sono i matematici e i fisici.

Per poterla capire si ha bisogno di alcune conoscenza basi della matematica, come ad

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esempio i numeri complessi, le implicazioni (⇒), le equivalenze (⟺), le proposi-
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zioni , la teoria degli insiemi , le funzioni , le trasformazioni lineari, etc.
Approfondimento: Trasformazioni Lineari.
Dati 2 elementi arbitrari xi e xj, un numero reale arbitrario c e una funzione f: X → Y, si
dice che f è una trasformazione lineare da X a Y se soddisfa due condizioni:

1. f(xi) + f(xj) e f(xi + xj) sono uguali;

2. cf(xi) e f(cxi) sono uguali.

Note: Si studiano le trasformazioni lineari per capire meglio il concetto di immagine. Una
m
n
trasformazione lineare da R a R è detta a “Applicazione lineare”.
La grafica al computer si basa sull’algebra lineare e in particolare sule trasformazioni

lineari. Ad esempio, permettono di fare scalare, ruotare, traslare, proiettare da 3D a 2D,
etc.

Chiamiamo vettore un segmento sul quale abbiamo stabilito un orientamento. Indi-

chiamo con il simbolo ⃗, un vettore di nome v.

Definizione: Diciamo vettore nullo il vettore che applicato a qualsiasi punto del piano
associa lo stesso punto.

35 L’enunciato è sempre vero. Nei casi in cui sappiamo che “se P allora Q” è vero, ma non sappiamo nulla sul contrario “Se
Q allora P” si dice che “P implica Q” (P ⇒ ) e “Q potrebbe implicare P”. Se sono vere entrambe allora si dice che P e Q
sono “Equivalenti”.
36 Se P ⇒ e Q ⇒ P, allora si dice che P ⟺ Q, cioè che P e Q sono equivalenti, si equivalgono.
37 Le proposizioni sono dichiarazioni che sono vere o false. Non fanno parte delle proposizioni quelle frasi ambigue che
possono suscitare reazioni diverse a seconda della persona interpellata.
38 Un insieme è una collezione di cose. Queste cose sono dette elementi o oggetti dell’insieme.
39 Si dice “funzione da X a Y” una legge che associa gli elementi di X a quelli di Y.
X è detto dominio mentre Y è detto codominio della funzione. L’elemento di Y che corrisponde a xi quando gli applichiamo
f è detto “immagine di xi in Y tramite f, oppure f(xi)”. L’immagine quindi non è altro che l’elemento di Y che corrisponde
all’elemento xi dell’insieme X mediante la funzione f. L’immagine di una funzione è quindi un sottoinsieme del suo codomi-
nio.
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