Page 400 - Capire la matematica

Definizione: Data un’equazione in due variabili, f(x, y) = 0, diciamo che la totalità delle
sue eventuali soluzioni rappresenta un luogo geometrico analitico piano o una curva
piana.

In quest’ultimo caso diciamo che la curva piana ha per equazione f(x, y) = 0.

Le Coniche

Definizione: La totalità dei punti del piano cartesiano che verificano una generica equa-
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zione di secondo grado in due variabili: ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0, si chiama conica.
Se la detta equazione ha soluzioni reali, la conica si dice reale, se l’equazione non ha
soluzioni reali la conica si dice immaginaria.

Definizione: Una conica reale o immaginaria, la cui equazione può scriversi come pro-

dotto di due equazioni di primo grado a coefficienti reali o complessi, si chiama conica
spezzata o degenere, altrimenti si dice irriducibile.

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Teorema: La conica di equazione ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 è spezzata se e solo se

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| |
| 2 2 | = 0.

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Teorema: Data una conica degenere di equazione ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0, essa è
spezzata in due rette reali e distinte, parallele o complesse e coniugate, a seconda che
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la quantità b – 4ac sia rispettivamente, positiva, nulla o negativa.
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Definizione: Data una conica di equazione ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0, la quantità Δ
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= b – 4ac si chiama discriminante della conica.
Definizione: Una conica reale o immaginaria, degenere o irriducibile, a seconda che il
suo discriminante sia rispettivamente, negativo, nullo o positivo, si chiama: ellisse, para-
bola, iperbole.

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