Page 388 - Capire la matematica

Un sistema che ha un numero di equazioni diverso dal numero di incognite, in generale
non ha una sola soluzione, ma ne ha infinite o nessuna.

Esempio: Consideriamo il seguente sistema di 2 equazioni in 4 inco-
+ 2 − + 3 = 1
1
3
4
2
gnite:{ Non essendo la matrice dei coefficienti di tipo qua-
− + 4 + − 2 = −2
1
2
3
4
drato, non è possibile applicare il teorema di Cramer – Leibniz. Poi avendo più incognite
che equazioni, il sistema non può essere determinato, e quindi ha infinite soluzioni.
Definizione: Dato un sistema lineare scritto nella forma normale di Cramer – Leibniz di-
ciamo sua matrice incompleta la matrice formata con i coefficienti delle incognite; di-
ciamo sua matrice completa la matrice ottenuta aggiungendo come ultima colonna alla
matrice incompleta il vettore dei termini noti.

Vediamo di cercare una generica legge che ci fornisca tutte le soluzioni. Per far ciò basta

considerare due delle incognite come parametri.

Definizione: Dato un sistema lineare di n equazioni in m incognite, se le sue eventuali
soluzioni si esprimono mediante k delle incognite (k<m), diciamo che il sistema ha infi-

nito alla m−k soluzioni (∞ − ).

Per risolvere il problema, basta considerare solo due delle incognite come parametri. In
questo modo avremo 6 sistemi che è possibile risolvere con il metodo di Cramer – Leib-

niz.
+ 2 = − 3 + 1
2
3
4
1
Quindi il sistema dell’esempio diverrebbe: { . Le soluzioni
− + 4 = − + 2 − 2
4
2
1
3
1+ −3 2
| 3 4 | 4+4 −12 +4+2 −3 4+3 −8
3
4
saranno: x1 = − +2 −2 4 = 3 4 3 4 = 3 4 , e x2 =
2
1
| | 4+2 3
−1 4
1 1+ −3 4
3
| |
−2 − +2 −2 = −2− +2 +1+ −4 4 = −1− 4 . Assegnando dei valori a piacere ad x3 e
3
4
3
4
3
6 6 6
a x4 avremo delle soluzioni di x1 e x2.
Abbiamo visto che spesso, se riusciamo a scrivere il sistema di n equazioni in m incognite
(con n <m) in modo da isolare n delle incognite che hanno coefficienti il cui determinante
non è zero, il sistema avrà ∞ n – m soluzioni. (Non è detto però che ciò sia sempre possi-
bile.
Definizione: Data una matrice A, diciamo matrice estratta da essa, una matrice che si
ottiene eliminando dà A una o più righe e/o una o più colonne.
Definizione: Data una matrice A, diciamo sua caratteristica o rango r(A), il massimo fra
gli ordini di tutte le matrici quadrate non singolari estratte da A.

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