Page 384 - Capire la matematica

3 1 −2
Esempio: Nella matrice A = ‖−1 1 0 ‖ il complemento algebrico dell’elemento –
−2 −4 5
1 −2
3

2+1
1 (che occupa la riga 2 e la colonna 1) è (–1) ⋅ A21 = (-1) ∙ | | = -1∙(5 – 8) = 3. Il
−4 5
3 1
6
3+3
complemento algebrico dell’elemento a33 = 5 è (-1) . A33 = (-1) ∙ | | = 1∙ (3+1) =
−1 1
4.
Teorema di Laplace: Per calcolare un determinante di ordine n, si sceglie una qualsiasi
sua riga o colonna, si moltiplica ciascuno degli elementi della linea scelta per i rispettivi
complementi algebrici e se ne calcola la somma risultante. In simboli, scegliendo la riga
11 12 … 1
21 22 … 2
k+1
k+n
k:| |=(-1) ∙ ∙ + (−1) +2 ∙ ∙ +… +(-1) ∙ ∙ ,
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 2 2
1 2 ⋯
11 12 … 1
21 22 … 2
h+1
o, scegliendo la colonna h: | |= (-1) ∙ ∙ + (−1) ℎ+2 ∙ ∙
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1ℎ 1ℎ 2ℎ
1 2 ⋯
2ℎ + ⋯ + (−1) ℎ+ ∙ ℎ ∙ .
ℎ

3 1 −2
Esempio: Vogliamo calcolare il determinante |−1 1 0 |. Grazie al teorema di La-
−2 −4 5
place possiamo scegliere una sua riga o colonna qualsiasi; scegliamo per esempio la se-
3 1 −2
2+2
conda colonna e scriviamo: |−1 1 0 | = (−1) 1+2 ∙ 1 ∙ | −1 0 |+(-1) ∙ 1 ∙
−2 −4 5 −2 5
3 −2 3 −2
3+2
| | + (-1) ∙ (-4) ∙ | |== –1⋅ (–5 + 0) + 1 ⋅ (15 + 4) + 4 ⋅ (0 – 2) = 5 + 11 – 8
−2 5 −1 0
= 8. (nota: per velocizzare le cose conviene scegliere le righe o le colonne contenenti più

0).

Corollari: Moltiplicando tutti gli elementi di una linea di un determinante per uno stesso
numero reale k, otteniamo un determinante che è k volte quello iniziale.

Se in un determinante scambiamo fra loro due linee parallele, il determinante ottenuto
ha valore opposto a quello di partenza.

Un determinante con due linee parallele uguali o proporzionali è nullo.

Moltiplicando una o più linee per delle costanti e poi sommando il tutto a un’altra linea
parallela alle precedenti, il determinante ottenuto non cambia.

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