Page 233 - Capire la matematica

FUNZIONI (o Applicazioni)

Dati 2 insiemi X,Y, si chiama Relazione di X → Y, una legge che a ogni elemento x ∈ X
associa 1 o più elementi y ∈ Y.

Una relazione f tra due insiemi A e B si definisce funzione se ad ogni elemento di A asso-

cia uno e un solo elemento di B.

È detta corrispondenza univoca se ∀ ∈ associa 1 solo y∈Y; allora l’insieme di partenza
X si chiama dominio e l’insieme di arrivo Y codominio della funzione. F:X→Y ∀ ∈

l’unico y ∈ Y f(x).

Quando i due insiemi A e B sono numerici, le funzioni vengono dette funzioni numeriche.
Tali funzioni si chiamano funzioni reali di variabile reale.

Nota: Il valore che assume y dipende da quello attribuito a x. Per questo motivo y prende
il nome di variabile dipendente e x di variabile indipendente.

Data una funzione f: X→Y, si chiama grafico (o diagramma cartesiano) della funzione
l’insieme {(x, f(x))|x∈ }.

Nota: Ciò che contraddistingue, nel piano cartesiano, il grafico di una funzione è il fatto
che nessuna retta verticale (parallela all’asse y) può intersecarlo in due punti distinti (ciò
infatti violerebbe la definizione di funzione, perché significherebbe che allo stesso valore
di x sono associati due valori di y).

Gli Intervalli sono sottoinsiemi di numeri reali.

Se la funzione è assegnata tramite l’equazione: y = f(x), si dice che x è la variabile indi-

pendente, perché a essa può venire assegnato un valore arbitrariamente scelto nel do-
minio, mentre y è la variabile dipendente, perché il valore assunto da y dipende da
quello assegnato alla x.

L’espressione analitica che descrive una funzione può avere due forme:

2
• forma esplicita, del tipo y = f(x); per esempio, y = 2x - 1;

2
• forma implicita, del tipo F(x; y) = 0; per esempio, 2x - y - 1 = 0.
Se nell’espressione analitica della funzione la variabile indipendente (x) è soggetta sol-

tanto a un numero finito di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divi-
sione, elevamento a potenza a esponente razionale o estrazione di radice si dice che la
x
funzione è algebrica, altrimenti si dice che è trascendente (y = 2 oppure y = log x).

Una funzione algebrica in forma esplicita può essere:

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