Page 229 - Capire la matematica
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4. Ricordiamo che la classe di equivalenza di un elemento p, appartenente a Q, rispetto
alla relazione R è definita come segue:
Allora
Quindi la classe di equivalenza di 0 coincide con l’insieme dei numeri interi.
Esercizio 3: Assegnata su la relazione
(ovvero a ℛ b ⇔ 12| 7b + 5a).
1. Verificare che ℛ definisce una relazione di equivalenza su .
2. Scrivere la classe di equivalenza di 0.
Svolgimento: 1. Innanzitutto stabiliamo se ℛ è riflessiva.
Sia a ∈ , si ha
Questa equivalenza è vera dato che 12a è un multiplo di 12 e quindi sicuramente 12 |
12a. Vediamo, ora, se ℛ è simmetrica ossia, considerati a, b ∈ deve risultare che
Ma
D’altra parte, 12 | 12° + 12b (12° + 12b è un multiplo di 12 pertanto 12 sarà un suo
divisore). Ricordando che, in generale
si ha che (12 | 12a + 12b) ^ (12 | 7b + 5a) ) 12 | 12a + 12b - 7b - 5a;
da cui 12 | 7a + 5b
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