Page 217 - Capire la matematica
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Il Linguaggio Della Teoria Degli Insiemi
Il contributo di Cantor (1845 - 1918) alla teoria degli insiemi ha permesso di fondare
l’intera matematica su di essi.
Il concetto di insieme è basato su un processo mentale di astrazione consistente nel
prendere in considerazione più oggetti distinti in un’unica entità.
Gli oggetti che costituiscono un dato insieme A si chiamano elementi di A e si dice che
appartengono ad A.
Deve essere sempre possibile stabilire se gli oggetti appartengono o no ad un insieme
dato.
Il criterio in base al quale si costruisce un insieme rappresenta la proprietà caratteristica
degli elementi dell’insieme.
Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole A,B,C..Z mentre gli elementi con le lettere
minuscole a,b,c…z.
Per dire che un oggetto x appartiene all’insieme A usiamo i simboli ∈ A.
Nella teoria degli insiemi, l’insieme Universo U è l’insieme che contiene tutti gli insiemi
esistenti. Ogni insieme è un sottoinsieme di U.
L’insieme U gode delle seguenti proprietà:
a) è univoco; b) include tutti gli altri insiemi; c) include se stesso e l’insieme vuoto; d)ogni
elemento ∈ ; e) l’unico insieme che contiene l’insieme Universo è se stesso. Un in-
sieme privo di elementi si dice insieme vuoto ∅.
Il metodo più comune per rappresentare un insieme è quello di usare i diagrammi di
Eulero-Venn (una linea piana chiusa non intrecciata al cui interno ci sono, indicati come
puntini, tutti i suoi elementi). E’ possibile indicarlo anche con A={a,b,c,..,z}.
Un insieme costituito da un unico elemento si dice unitario. {} indica l’insieme vuoto.
Un terzo modo per specificare un insieme A consiste nello specificare un certo numero
di proprietà, che servono a stabilire, in modo inequivocabile, quali elementi apparten-
gono all’insieme considerato e quali no: A={x∈ |()}.
Gli insiemi numerici Naturali={0,1,2,…} e Zrelativi={0,-1,1,-2,2,-3,3,…}, Qrazionali(esprimibili
sotto forma di rapporto di due interi), Iirrazionali (numeri che non possono essere espresso
sotto forma di frazione perché hanno molti decimali) Rreali(comprende i razionali e gli
irrazionali).
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