Page 213 - Capire la matematica

Si ha ove, a conti fatti

Allora, usando l’ipotesi di induzione e sapendo che non è un multiplo

di 3, cioè si ha:

Quindi P(n + 1) è verificata.

Esercizio 4: Verificare che la seguente successione definita per ricorrenza

ammette come formula chiusa la successione

per ogni n ≥ 0.

Svolgimento: Usiamo il principio di induzione per provare che P(n): an = bn è vera per
ogni n ∈ N.

1. PASSO BASE: Verifichiamo innanzitutto che P(0) : a0 = b0, è vera.

Ma a0 = 3 ∙ 0 ∙ (0 + 1) = 0 e b0 = 0. Quindi, essendo entrambi nulli, il passo base è verificato.

2. PASSO INDUTTIVO: Ora proviamo che per ogni n ∈ N, supponendo vera P(n), è vera
P(n + 1), ovvero

Quindi si ha:

Ma

Pertanto, poiché an+1 coincide con bn+1, si ha che P(n + 1) è verificata.

Approfondimento: Vediamo come si dimostra per induzione che:

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