Page 209 - Capire la matematica

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il Principio di Induzione

È un principio sul quale si basa un’importante tecnica dimostrativa ed è una conse-
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guenza dell’assioma di Peano che introduce l’insieme dei numeri naturali: se un’affer-
mazione, in cui compare un generico numero naturale n, verifica determinate condi-

zioni, allora essa è vera per tutti gli n appartenenti ad N.

Nota: Il principio di induzione completa afferma che se una proprietà vale per il numero
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1 ed è ereditaria allora vale per tutti i numeri.

Il principio di induzione matematica fu enunciato per la prima volta da Augustus De Mor-
gan nel 1838.

Approfondimento: Gli Assiomi di Peano.

I numeri naturali si susseguono in ordine uno dopo l’altro a partire dal numero zero,
denotato con 0; come primo assioma va quindi chiesto che 0 sia un numero naturale:

(A1): 0 ∈ N.

Va a questo punto detto che dal numero 0 si passa ai numeri successivi.

(A2): Per ogni numero naturale n esiste un unico numero naturale s(n) detto successivo

di n. Vanno poi chiarite le proprietà fondamentali che questa operazione di successivo
possiede; anzitutto il numero 0 è il primo della lista, per cui non è successivo di nessun
numero.

(A3): Per ogni n ∈ N si ha s(n) ≠ 0. Inoltre, ogni numero naturale che non sia 0 proviene
da un solo numero naturale mediante l’operazione di successivo; per cui va chiesto che:
(A4): Se n, m ∈ N con s(n) = s(m), allora si ha n = m.

Infine vi è l’ultimo assioma che chiude la definizione; non è infatti chiaro, sulla base degli

assiomi precedente, se questa operazione di successivo iterata fornisca o no tutti i nu-
meri naturali o se ne rimanga qualcuno escluso.

Il quinto ed ultimo assioma fornisce una risposta a questa domanda e afferma proprio

che iterando, a partire dallo 0, l’operazione di successivo, si ottengono tutti i numeri
naturali:

(A5): Supponiamo che A ⊆ N e che si abbia 0 ∈ A e n ∈ A ⇒ s(n) ∈ A; allora risulta A = N.

I cinque assiomi di Peano costituiscono una possibile definizione rigorosa dei numeri

21 L’induzione è il procedimento che consiste nel passare da affermazioni di carattere particolare ad affermazioni di carat-
tere generale. Il procedimento inverso, dal generale al particolare, è invece chiamato deduzione.
22 La parola “Assioma” deriva dal latino axioma, a sua volta derivato dal greco aksioma che significa dignità.
23 Dire che una proprietà dei numeri (naturali!) è ereditaria significa affermare che si trasmette da un numero al successivo
e cioè che se vale per un numero n allora vale anche per n + 1.
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