Page 201 - Capire la matematica

Regola dei Segni di Cartesio

La regola dei segni di Cartesio stabilisce che il numero di radici reali positive di un poli-

nomio p(x) a coefficienti reali è minore o uguale al numero dei cambiamenti di segno
nella sequenza dei coefficienti non nulli di p(x), ordinati secondo le potenze di x crescenti
o decrescenti, e la differenza è un numero pari.

Sia un polinomio a coefficienti reali ai tutti non nulli,

dove bi sono interi tali che:

Posto z(p) il numero di radici reali positive di p(x), contate con la relativa molteplicità,
risulta:

1. Se a0an > 0, allora z(p) è pari;

2. Se a0an < 0, allora z(p) è dispari.

Teorema (Regola Dei Segni di Cartesio): Sia un poli-
nomio a coefficienti reali ai tutti non nulli, dove bi sono interi tali che:

.

Il numero di radici reali positive di p(x) è minore o uguale al numero di variazioni di segno

nella sequenza dei coefficienti a0, a1, …, an, e la differenza è un numero pari.

Il numero di radici reali negative di p(x) è minore o uguale al numero di variazioni di
segno nella sequenza dei coefficienti di p- = p(-x), e la differenza è un numero pari.

In simboli, posto v(p) il numero di variazioni di segno nella sequenza dei coefficienti di
p, z(p) il numero di radici reali positive e z-(p) il numero di radici reali negative, di p,
contate con la relativa molteplicità, si ha:

Se nei coefficienti di p(x) esiste un solo cambiamento di segno, allora p ha esattamente

una radice reale positiva.

Se i coefficienti di p(x) sono tutti positivi allora p non ha radici reali positive.

Se un polinomio p(x) di grado n ha n radici reali positive, allora deve essere completo e

avere i coefficienti a segni alterni.

Se un polinomio p(x) di grado n ha n radici reali negative, allora deve essere completo e
avere tutti i coefficienti dello stesso segno.

- 201 -