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Equazioni di quarto grado

Si definisce equazione di quarto grado o quartica quell’equazione polinomiale a coeffi-

cienti reali o complessi in cui il grado massimo dell’incognita è il quarto.

Nella forma canonica essa si presenta come:

3
4
2
a4x + a3x + a2x + a1x + a0 = 0, con a4 ≠ 0.
Per semplicità si può considerare l’equazione nella seguente forma:

3
2
4
x + ax + bx + cx + d = 0
con la posizione

x = y - , ricavata dall’annullamento della derivata terza della funzione
4
4
2
3
p(x) = x + ax + bx + cx + d (*) con metodo analogo a quello usata nelle equazioni di
terzo grado, l’equazione precedente diviene:
4 3 2

( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) + = 0 →
4 4 4 4
4
2
y + 2Ay – By – C = 0 Equazione di quarto grado con coefficiente del termine di terzo
grado nullo, dove
2
4
8−3 2 4−8− 3 3 +64−16 −256
A = , = , =
16 8 256

4
3
2
(*) p(x) = x + ax + bx + cx + d → p’’’(x) = 24x0 + 6° = 0 → x0 = − per cui sviluppando il
4
4
2
polinomio di Taylor si arriva a p(x) = (x – x0) + 2A(x – x0) – B(x – x0) – C
2
4
Ponendo x – x0 = y si ha p(x) = 0 → y + 2Ay – By – C = 0
Qui dobbiamo distinguere 2 casi: B = 0 e B ≠ 0.
Caso B = 0

4
2
2
4
y + 2Ay – By – C = 0 si riduce in y + 2Ay – C = 0 che è una biquadratica, cioè ricondu-
2
cibile ad un’equazione di secondo grado con la posizione y = t → =
1,2
± =± , dove t1 e t2 sono le soluzioni dell’equazione trasformata.
3,4
√ 2
√ 1
4
Se anche A = 0 l’equazione si riduce ulteriormente nella forma y – C = 0 le cui soluzioni
sono ottenibili dalla formula di De Moivre.
Caso B ≠ 0
4
2
Riscriviamo l’equazione nella forma y + 2Ay = By + C.

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