Page 120 - Capire la matematica

= −5 − √13 = −5 + √13
1
2
0 → z1 = -5 - √13 z2 = -5 + √13 → { { . Risolvendo
= −5 + √13 = −5 − √13
2
1
= 3 = 4
2
2
il secondo z – 7z + 12 =0 → z1 = 3 z2 = 4 → { 1 { . Raccogliendo
= 4 = 3
2
1
= −5 − √13 = −5 + √13 = 3 = 4
2
1
3
4
abbiamo le 4 soluzioni { { { { .
= −5 + √13 = −5 − √13 = 4 = 3
4
3
1
2
4
4
+ = 17
7. { Potremmo usare la formula di Waring, ma è meglio usare un pro-
= 2
cedimento più semplice: eleviamo alla quarta la seconda espressione in modo da
4
4
avere dappertutto x ed y . In questo modo trasformiamo un sistema di grado 8
in un sistema di grado 32, cioè con 32 soluzioni, ma poi dovremo prendere sola-
mente le soluzioni che verificano l’equazione iniziale xy=2 e quindi troveremo solo
4
4
+ = 17
4
4
8 soluzioni accettabili { Ponendo x = q ed y = t; otteniamo
4 4
= 16
+ = 17
{ che è un sistema simmetrico elementare. Prendendo in esame
= 16
= 16
1
2
l’equazione associata abbiamo: z – 17z + 16 = 0 → z1 = 16 z2 = 1 → {
= 1
1
4
4
= 1 = 16 = 1
2
{ . Ora risolviamo i sistemi: { { .
4
4
= 16 = 1 = 16
2
4
4
Risolvendo il primo si ha: x = 16 → x – 16 = 0 che lo posso scomporre come
2
2
4
2
differenza di quadrati: x - 16 = (x - 4)(x + 4) = (x - 2)(x + 2)(x + 4). Uguagliando a
zero ogni fattore si ottengono le soluzioni x – 2 = 0 → x = 2, x + 2 = 0 → x = -2, x 2
+ 4 = 0 x = ±√−4 → x = ±2 → x1 = 2 x2 = -2 x3 = 2i x4 = -2i
Si dovrebbero considerare tutte e 16 soluzioni(4x4) ma siccome si deve rispettare
la condizione xy=2 allora saranno accettabili soltanto 4 soluzioni:
= 2 = −2 = 2 = −2
2
3
4
1
{ { { {
= 1 = −1 = − = +
4
3
2
1
4
= 1
Risolvendo il secondo sistema { 4 si avranno le soluzioni:
= 16
= 1 = −1 = − 8=+
7
5
6
{ { { { Anche qui ho considerato accettabili
= 2 = −2 = 2 = −2
8
5
7
6
solo le 4 soluzioni appaiate perché’ devono rispettare la condizione iniziale xy = 2
Esiste anche un modo più semplice in grado di risolvere in modo automatico i sistemi
simmetrici. Vediamolo velocemente:
2
2
+ + + = 22
{
2
3
3
2
+ + + = 85
trasformiamo tutti i termini in gruppi del tipo (x + y) ed xy, utilizzando le formule di
Waring; Una volta fatto ciò consideriamo due nuove variabili:
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