Page 115 - Capire la matematica

Sistemi Simmetrici

Un sistema si dice simmetrico se scambiando tra loro le x con le y, il sistema non cambia.

2
2
2
3
3
2
+ = 10 + = −19 + − 2 − 2 = 15
{ oppure { o ancora {
2
2
= 9 + = −1 + + + = 36
Nota: Per poter risolvere i sistemi simmetrici, si usano le regole della somma e del pro-
dotto delle radici nelle equazioni di secondo grado, ma per utilizzarle dovremo prima
conoscere le formule di Waring.
11
Iniziamo dando un’occhiata ai sistemi simmetrici elementari (o fondamentali ), dove
sono presenti solo un’equazione con la somma delle incognite e una con il prodotto,

equazioni del tipo:

+ = 5
{
= 6

Per risolvere il sistema basterà risolvere un’equazione di secondo grado in z del tipo:
trovare due numeri di cui conosciamo la somma ed il prodotto:

2
z – sz + p = 0 (Equazione Risolvente del Sistema)
dove s è la somma delle incognite, mentre p è il prodotto.

+ = 5
2
Quindi dato il sistema { , avremo che l’equazione z – sz + p = 0, dove s = x +
= 6
y = 5 e p = x · y = 6.

2
Da cui ricaviamo z - 5z + 6 = 0.
Per trovare x ed y dobbiamo risolvere l’equazione, attraverso la formula:

2
−±√ −4
z1,2 = → essendo a = 1 b = -5 c = 6 abbiamo:
2

5±√25−24 5±1
z1,2 = = → z1= 2 z2= 3
2 2

= 2 = 3
1
2
Queste 2 soluzioni prenderanno il valore prima di x e poi di y: { { .
= 3 = 2
2
1

11 La risoluzione di un qualunque altro sistema simmetrico è riconducibile alla risoluzione di tale sistema elementare.
- 115 -