Page 143 - Storia del Pensiero Matematico e suoi Aneddoti

Le geometrie non euclidee 131

Per secoli i matematici avevano fondato la conoscenza della geometria sui cinque

postulati di Euclide, secondo il presupposto che essi fossero auto-evidenti, e non

avessero bisogno di essere dimostrati.

I postulati di Euclide, infatti, sembravano essere proprietà fondamentali e non

modificabili.

Uno di questi postulati, il quinto, era però sempre apparso più problematico degli altri,
al punto da aver richiesto, nel corso dei secoli, numerose formulazioni alternative e

persino diversi tentativi di dimostrazione.

Nella sua forma più semplice, il quinto postulato afferma che, “data una retta e un punto
esterno ad essa, per quel punto può passare una sola retta parallela alla retta di

partenza”, oppure secondo una formula equivalente “la somma degli angoli interni di un
triangolo è sempre uguale a 180°”.

Questo postulato sembra del tutto intuitivo finché si resta nel mondo astratto

dell’immaginazione, ma diviene evidentemente falso se si prova a realizzarlo su una
superficie curva come quella della superficie terrestre.

Nei primi decenni dell’Ottocento diversi matematici cominciarono quindi a chiedersi se

non si potessero fondare geometrie di tipo alternativo, che rinunciassero a uno o più dei
postulati di Euclide.

Il primo a rendersi conto dell’esistenza di geometrie non

euclidee, fondate su un insieme di postulati auto
consistenti, fu il “Principe dei matematici”, Karl Friedrich

Gauss (1777 – 1855), anche se come sua consuetudine,
non pubblicò niente al riguardo.

Gauss giunse alla conclusione che il quinto postulato non

fosse un requisito davvero necessario per costruire una
geometria coerente.

Si sono avute delle notizie, solo grazie alla donazione, da

parte di un suo nipote, alla Società Reale di Göttingen, di
GAUSS
un quaderno contenente 146 enunciati e risultati di

calcoli molto complessi. Tra questi vi era anche una prima versione di una geometria
non euclidea.