Page 809 - Capire la matematica

2° CASO: La velocità v del punto P, ottenuta derivando rispetto al tempo t la

, é: v = 4 (2 + ) ed è nulla se: 4 (2 + ) = 0
6 6

Cioè se 2 − = + , con k ∈ Z.
6 2
1
Pertanto risolta quest’ultima equazione in t si ottiene: t = + , con k ∈ Z.
6 2
La velocità è massima in modulo quando l’accelerazione è nulla.

L’accelerazione a è data da:

2
a = -8 sin (2 − )
6

2
ed è nulla se: -8 sin (2 − ) = 0
6

ossia se 2 + = , con k ∈ Z.
6
Risolvendo quest’ultima equazione in t, si ottiene:
1
t = − + , con k ∈ Z.
12 2
d. Si rimanda il lettore ad un qualsiasi testo di analisi matematica.

Maturità 78
9) a. In un sistema di assi coordinati cartesiani si considerino le parabole rispettivamente
di equazioni:
2
2
C’) y = 2x − 2x , C’’) y = x − x
Nella regione finita di piano delimitata dalle due curve si conducano:
• la retta d’equazione y = k ( k > 1/4 ) sulla quale C’ intercetta la corda AB;
• la retta tangente a C’’ nel suo vertice, sulla quale la stessa C’ intercetta la corda CD.

Si determini per quale valore di k l’area del trapezio ABCD acquista valore massimo.
1+ 2
b. Si studi la funzione y = se ne disegni il grafico. Si scriva l’equazione della circon-
1− 2
ferenza tangente ai tre rami della curva e si calcolino il perimetro e l’area del triangolo

individuato dai tre punti di contatto.
1 2
c. Tra le parabole d’equazione y = -3x + k i individui quella sulla quale la retta di
2
5
equazione 2y = x + 2 intercetta una corda AB di lunghezza l = √5.
2
Condotte in A e in B le rette tangenti alla parabola trovata, si calcoli l’area della regione

finita di piano limitata dall’arco di parabola e dalle due tangenti.
d. Gli asintoti di una curva: si illustri il procedimento per determinarli nel caso di una
curva rappresentante una funzione razionale fratta.

Soluzione
2
2
a. Le parabole C’) y = 2x − 2x , C’’) y = x − x , aventi lo stesso asse di simmetria x =
1/2, hanno per vertice rispettivamente i punti V’(1/2, 1/2) e V’’(1/2, 1/4); inoltre s’inter-
= 2 − 2
secano nei punti O(0,0) e H(1,0) come si vede risolvendo il sistema:{
= − 2

- 809 -