Page 802 - Capire la matematica

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Posto x = E′O′ → X : R = ′ : hr con 0 < x < r, ossia ′ = xh.
′ = xh.
➔ ̅̅̅̅̅
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Osservato che ′ = − ′, si ha:
̅̅̅̅̅ 2
′ = hr – hx = h(r-x) → V = phx (r-x), mentre la funzione di cui ri-
cerchiamo il massimo diviene:
2
V(x) = x (r – x)
avendo, come è lecito, trascurato la costante moltiplicativa πh.
La derivata prima è:

2
2
V’(x) = 2x(r − x) − x = −3x + 2rx
mentre la disequazione:

2
V ′(x) ≥ 0 ossia − 3x + 2rx ≥ 0 è verificata per
2
0 ≤ ≤
3
2
Pertanto la funzione presenta un massimo relativo M per x =
3
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̅̅̅̅̅
Tenuto conto che il cilindro è equilatero se EE′ = 2E′O′, si ha: h(r - x) = 2x
2
4
2
Per x = abbiamo h(r - ) = , cioè h = 4.
3 3 3
Quindi per h = 4 il cilindro risulta equilatero, e la sua superficie totale S è:

2
mentre la funzione di cui ricercare il massimo è: S(x) = 4rx – 3x , avendo trascurato la
costante moltiplicativa 2π.
La derivata prima è S ′(x) = 4r − 6x, e la disequazione S ′(x) ≥ 0 ossia: 4r − 6x ≥ 0 è verificata
2
per x≤ .
3
2
Di conseguenza la superficie totale è massima per x= e più precisamente
3

n
d. Dato che ( ) = ! → ( +1 ) = (+1)! = +1
k !(−)! +1 (+1)![+1−(+1])! (+1)!(−)!
n ! !
( ) + ( ) = + =
k + 1 ( + 1)! ( − − 1)! ! ( − )!
! ( − + + 1) ( + 1)!
=
( + 1)! ( − )! ( + 1)! ( − )!

→( +1 ) = ( n ) + ( ).
+1 k+1

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