Page 795 - Capire la matematica

d. la risposta si trova in qualsiasi testo (compreso questo).

Maturità 75
̅̅̅̅
6) a. Assegnata una circonferenza di diametro = 2, si conduca per A la retta tangente
̅̅̅̅̅
e su essa si consideri un punto M tale che = x . Da M si tracci l’ulteriore retta tangente
̅̅̅̅
alla circonferenza e sia C il punto in cui essa incontra il prolungamento di AB. Posto =
y , si esprima y in funzione di x e si disegni il grafico relativo.

b. In un riferimento cartesiano ortogonale Oxy sono date le parabole C’ e C’’ rispettiva-
mente di equazioni:
2 2
2
y = -x + 2ax, y = − con a > 0.
4 3
Si calcoli l’area della regione finita di piano delimitata dalle due parabole e si determini
il valore di a per cui tale area risulti minima.
Si completi la trattazione dimostrando che se F(x) è una primitiva di una funzione f(x)

per a ≤ x ≤ b risulta:

∫ () = () − ()

̂
c. Si conduca internamente ad un angolo retto AOB una semiretta OC che forma con OA
̂
̅̅̅̅̅
un angolo AOC = x; presi rispettivamente su OA ed OB due punti M ed N tali che OM =
̅̅̅̅
1, ON= 3, siano M’ ed N’ le rispettive proiezioni di M ed N su OC. Detto P il punto medio
di M’N’, si determini x in modo che risulti massima l’area del triangolo NOP.
Soluzione
a. Dall’analisi del problema si deduce che possono presentarsi i seguenti due casi.

1°Caso: L’ulteriore retta tangente, condotta da M, alla circonferenza incontra il prolun-
gamento di AB dalla parte di A.
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
Poniamo, come suggerito dal testo: = , = con 0 < x < 1 e y > 0.
I triangoli rettangoli CHO e CAM sono simili in quanto hanno gli angoli ordinatamente
uguali. Quindi si ha che:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
: = : → : = 1: → = .

̅̅̅̅
2
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHO si ottiene: = √( + 1) − 1 =
2
2
2
2
2
√ + 2 da cui = √ + 2 ed elevando al quadrato = + 2. Dividendo per y
2
2
1 +2 1 −1 2 2
≠ 0 si ha: = ⇔ = 1 + 2 → y = con 0 < x < 1 e y > 0.
2 2 1− 2
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