Page 767 - Capire la matematica

Prove scritte di Esami di Maturità

Maturità 70
1) Verificare che le due curve piane, grafici cartesiani delle funzioni:

3
2
3
2
y = x + 3x + 3x +1 e y = x – 3x – 3x +1
hanno due punti in comune.
Indicare l’andamento dei predetti grafici cercandone in particolare gli eventuali punti di
massimo o minimo relativo.

Determinare l’area della regione piana limitata dai due archi dei grafici aventi per
estremi i due punti comuni.

Considerate poi le tangenti ai due grafici nei punti comuni, calcolare l’area del quadrila-

tero convesso da esse determinato.

Soluzione

Per determinare le coordinate dei punti d’intersezione delle due curve occorre risolvere

il sistema:

3
2
y = + 3x + 3x + 1 = ( + 1) 3
{ ↔ {
2
3
2
= − 3 − 3 + 1 6( + ) = 0
Da qui si ricavano i p.ti P(0,1) e Q(-1,0)
***

3
2
y = x + 3x + 3x +1 è definita in tutto l’insieme R dei numeri reali in quanto la funzione
è razionale intera, e non presenta asintoti.

Risolvendo la disequazione:

3
3
2
y = x + 3x + 3x +1 ≥ 0 ↔(x+1) ≥ 0 ↔ + 1 ≥ 0
è positiva per x > - 1, nulla per x = -1 e negativa altrimenti.

La derivata prima è:

2
2
2
y’= 3x + 6x + 3 = 3(x + 1) e la disequazione y’≥ 0 ossia 3(x + 1) ≥ 0 è verificata per
∀x∈R. Pertanto la curva è crescente per ∀x∈R ; nel punto x = -1, annullandosi la deriva
prima, presenta un flesso a tangente orizzontale.

La derivata seconda è:

y’’= 6(x + 1)

- 767 -