Page 586 - Capire la matematica

Integrali di Funzioni trascendenti

A) Si pone: → ,

Esprimendo in t, l’integrale viene razionalizzato.

Esempio. Ricordato che e si porrà:

2
→ → dx = →
1+ 2

che è una funzione algebrica razionale
−2 −2 (+1)+(−1) −2
= ∫ = ∫ = −2 (∫ + ∫ ) → = →
2
2
2
−2−1 (−1)(+1) −1 +1 −2−1 −2−1
+ = 0 → = −
( + 1) + ( − 1) = −2 → At+A+Bt-B=-2 → {
− = −2 → = + 2 = − + 2
−2 1 1
→ 2B=2 →B=1 e A=-1 → ∫ = − ∫ + ∫ = -ln|t-1|+ln|t+1|+c =
2
−2−1 −1 +1

+1 +1
|+c .
ln| + | → = ln| 2
−1 −1
2
B) Si pone: tan x = t →dx= e l’integrale espresso in t viene
1+ 2
razionalizzato.

1 2 1 2
Esempio. ln (1 + )= ln(1 + ) + .
2 2

1
C) x = , = → sostituendo l’integrale viene razionalizzato.

Esempio. posto → dx=dt/t →
1 (+)+
cerchiamo ora A e B tali che = + = →A=1 e B=-1. →
(+1) +1 (+1)
1 1 1 1

∫ = ∫ − ∫ =ln|t| - ln|t+1|+c → ∫ = ln − ln( + 1) +
1+ 1+ 1+

= − ln( + 1) + .

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