Page 547 - Capire la matematica
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Criterio del Confronto: Siano ∑ +∞ ∑ +∞ due serie numeriche a termini positivi,
=0
=0
se da un certo valore di n in poi si ha an ≤ bn, allora i) se ∑ +∞ , converge
=0
anche ∑ +∞ ; ii) se ∑ +∞ diverge, diverge anche ∑ +∞ .
=0
=0
=0
Esercizio 1: Stabilire il carattere della serie .
4
4
Soluzione: Per ogni k vale 1/(4 + k ) < 1/k e la serie ∑ ∞ 1 4 converge in quanto si tratta
=1
di una serie armonica generalizzata con p > 1.
Per il criterio del confronto, la serie data converge.
Esercizio 2: Stabilire il carattere della serie .
Soluzione: Abbiamo (2 + ln k)/k > 2/k = 2 (1/k), quindi ciascun termine della serie è mag-
giore del doppio del rispettivo termine della serie armonica, che è divergente; pertanto
anche la serie data diverge.
Criterio del Confronto asintotico: Date le due serie∑ +∞ e ∑ +∞ , con an, bn ≥ 0,
=1
=1
+∞ +∞
se ∃ lim = , > 0, allora se an~bn e quindi ∑ e ∑ hanno lo
→+∞ =0 =0
stesso carattere, cioè o convergono o divergono entrambe.
Esercizio 1: Stabilire il carattere della serie
Soluzione: Confrontiamo la serie data con .
Si ha . Poiché il limite è un numero
positivo, le due serie hanno lo stesso carattere. Essendo convergente, lo stesso
accade alla serie data.
1
Esercizio 2: Discutere la convergenza della serie ∑ ∞ (1 − ) al variare del para-
=1
metro reale .
Svolgimento: La serie è a termini positivi; si può usare il criterio del confronto asintotico,
stimando l’ordine di infinitesimo del termine generale della serie.
1 1 1 1 1
(1 − ) = ( + ( )) = ( + ( )) =
2
2 2 2 2 2
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