Page 543 - Capire la matematica
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Serie Numeriche
Somme Parziali e Serie.
Definizione: Data la successione {an} definiamo un’altra successione {Sn} nel modo se-
guente:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
……
Sn = a1 + a2 + … + an = ∑ .
=1
La successione {Sn} si dice successione delle somme parziali.
Data una successione numerica {an}, si chiama Serie numerica dei termini an la quantità:
∑ +∞ = a0 + a1 + a2 +…+ an +…
=0
Sia s0 = a0, s1 = a0 + a1, s2 = a0 + a1 + a2 …. Sn = a0 + a1 + a2 +…+ an ….
Sn è detta somma parziale o ridotta ennesima della serie ∑ +∞ e si indica con ∑
=0
=0
con n=0,1,2,…., dove ak è il “termine generale” della serie.
La serie ∑ converge alla somma S se lim = , altrimenti la serie diverge. È ir-
=0
→∞
regolare, se la successione delle somme parziali è irregolare.
Si scrive: sn→ s oppure ∑ +∞ = .
=0
Nota: La proprietà di convergenza o divergenza si dice carattere di una serie.
Esercizio 1: Scriviamo in forma di serie il numero decimale periodico 0,767676 ...
Soluzione: 0,767676 ... = 0,76 + 0,0076 + 0,000076 + ...
Questa è una serie geometrica, la cui somma è S = .
1−
0.76 76
a = 0.76 e r = 0.01 → S = = .
1−0.01 99
2
3
Nota: La serie geometrica a + ar + ar + ar + ... converge ad se |r| < 1.
1 –
Esercizio 2: Calcolare il carattere della serie 4 - 8 + 16 - 32 + ...
Soluzione: Si tratta di una serie geometrica con a = 4 e r = - 2; pertanto diverge.
Esercizio 3: Calcolare il carattere della serie 1 + 1 + 1 + 1 + ...
Soluzione: Si tratta di una serie geometrica con a = 1 e r = 1; pertanto diverge.
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