Page 535 - Capire la matematica

Successioni Numeriche

Si dice successione (numerica) una funzione avente per dominio l’insieme dei numeri

naturali:

f: A→R con A≡N.

I termini della successione vengono indicati con una lettera dell’alfabeto latino (in ge-

nere una a) e con un indice numerico: a1, a2, a3,…, an,…., oppure con {an}.

Il simbolo an è detto termine generale della successione.

Poiché una successione non è altro che un caso particolare di funzione, a essa è possibile

applicare il concetto di limite, e in particolare lim .

→+∞
Una successione numerica {an} si dice limitata superiormente se esiste un M ∈R tale che

an ≤ M ∀n∈N.

Una successione numerica si dice limitata inferiormente se esiste un M ∈R tale che an ≥
M ∀n∈N.

Una successione numerica si dice limitata se esiste un M ∈R tale che |an| ≤ M ∀n∈N.

Una successione numerica {an} si dice non decrescente se per ∀n∈N si ha an ≤ an+1.

Una successione numerica {an} si dice crescente se per ∀n∈N si ha an < an+1.

una successione numerica {an} si dice non crescente se per ∀n∈N si ha an ≥ an+1.

una successione numerica {an} si dice decrescente se per ∀n∈N si ha an > an+1.

Le successioni crescenti e quelle decrescenti si dicono anche monotone.

−1
Esempio 1: Si dimostri che la successione il cui termine generale è an = , è crescente.

−1
Dimostrazione: Per ogni n∈N deve essere an < an+1, quindi deve essere < . Svi-
+1
2
2
2
luppando i calcoli si ottiene che ∀n >0 si ha: (n-1)(n+è1) < n cioè n -1 < n .
1
Esempio 2: Si dimostri che la successione il cui termine generale è an = è decrescente.

1 1
Dimostrazione: Per ogni n∈N deve essere an > an+1, quindi deve essere > che ri-
+1
sulta vero per ogni n > 0.

n
Esempio 3: Si dimostri che la successione il cui termine generale è an = (-1) , è limitata.
Dimostrazione: È facile rendersi conto che per ∀n∈N i termini della successione o val-
gono 1 oppure -1; pertanto risulta che, ∀n∈N -1 ≤ an ≤ 1 e quindi la successione è limitata.

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