Page 532 - Capire la matematica

Metodo della Bisezione

In analisi numerica il metodo di bisezione (o algoritmo dicotomico) è il metodo numerico
più semplice per trovare le radici di una funzione.

La sua efficienza è scarsa e presenta lo svantaggio di richiedere ipotesi particolarmente
restrittive.

Ha però il notevole pregio di essere stabile in ogni occasione e quindi di garantire sempre

la buona riuscita dell’operazione.

Data l’equazione f(x) = 0, definita e continua in un intervallo [a,b], tale che f(a)∙ f(b) < 0,
allora è possibile calcolarne un’approssimazione in [a,b] grazie all’utilizzo del teorema
degli zeri.

Si procede dividendo l’intervallo in due parti eguali e calcolando il valore della funzione
+
nel punto medio di ascissa .
2
+ + +
Se risulta f( ) = 0 allora è la radice cercata; altrimenti tra i due intervalli [a, ] e
2 2 2
+
[ , b] si sceglie quello ai cui estremi la funzione assume valori di segno opposto.
2

Si ripete per questo intervallo il procedimento di dimezzamento e, così continuando si
ottiene, potenzialmente, una successione di intervalli incapsulati, cioè ognuno incluso
nel precedente, [a1,b1], [a2,b2], [a3,b3],…

−
Questi intervalli hanno come ampiezze bn- an = per n = 1,2,3,...
2

I valori ai sono valori approssimati per difetto della radice, i valori di bi sono invece i
valori della radice approssimati per eccesso.

Gli ai formano una successione crescente limitata, mentre i bi formano una successione

decrescente limitata.

Le due successioni ammettono lo stesso limite, che è la radice dell’equazione esaminata.

Come approssimazione della radice α si considera il punto medio degli intervalli, ci =
+ per i= 1, 2,…

2

L’algoritmo viene arrestato quando f(ci) è abbastanza vicino a 0 e/o quando l’ampiezza
dell’intervallo [ai,bi] è inferiore ad una certa tolleranza .

Dunque come stima di alla fine avremo un certo cn.

−
Si trova facilmente che per l’errore commesso vale |en| = |cn- | ≤ .
2 +1

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